香港高級程度會考純粹數學科

香港高級程度會考純粹數學科(英語：HKALE Pure Mathematics)是昔日一個在香港教育制度內的大學預科高等數學課程，公開考試在1980年至2013年間由香港考試及評核局(HKEAA)舉辦。

歷史及概述

課程前身為香港大學入學資格考試(H.K.U. Matriculation Examination)純粹數學課程。

1980年，第一屆由香港考試局（今香港考試及評核局）舉辦的香港高級程度會考純粹數學科考試舉行。

1992年本科首次有教學用的課程綱要，香港課程發展議會編制及發佈純粹數學科學習領域指引中學課程綱要－純粹數學科 (高級程度) (1992) （页面存档备份，存于互联网档案馆），此前只有考試課程。

2001年4月，發生試題印錯事件，卷二第8題所提供的函數，把「6-X」誤印成「X-6」，令題目無法算出^[1]。考試局在同月27日檢討補救方法後^[2]，決定以不重考但調整考生分數的方式處理^[3]。^[a]

2009年9月，香港教育界實施新學制課程^[4]，當中並沒有純粹數學科^[5]，不過教育局總課程發展主任李柏良在新聞報導上指出，純粹數學科及香港高級補充程度會考數學與統計學的內容跟新學制的香港中學文憑考試數學科延伸部分接近^[6]。

在2012年為最後一屆開放予應屆學校考生參加。

2013年，為自修生舉行的最後一屆香港高級程度會考舉行^[7] 。

課程設計及内容

領域	課題
數理邏輯	命题、逆命題及逆否命题、充分必要條件 或（${\displaystyle \lor }$ ）、非（${\displaystyle \neg }$ ）、与（${\displaystyle \land }$ ） 蕴涵（${\displaystyle \rightarrow }$ ）、反蕴涵（${\displaystyle \leftarrow }$ ）、若且唯若(⇔) 數學敘述 全稱量化(∀)、存在量化(∃)、唯一量化(∃!) 不失一般性(w.l.o.g.)
數學證明	直接證明（粵语：直接證明）、反證法——無理數證明
集合論	集合——并集、交集、补集、差集、笛卡儿积、德摩根定律、对称差 元素、属于关系 (∈) 數系——自然数集(${\displaystyle \mathbb {N} }$ )、整数集(${\displaystyle \mathbb {Z} }$ )、有理數集(${\displaystyle \mathbb {Q} }$ )、实数集(ℝ)和複數集(ℂ)之間的子集關係 ${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$
有限級數及有限序列	求和符號(Σ) 及求積符號 (Π) 通項公式、裂項和及裂項積
數學歸納法	反向歸納法（粵语：反向歸納法） 強數學歸納法
二項式定理	階乘 (n!) 二項式係數 帕斯卡三角形
代數不等式	絕對值、絕對值不等式、三角不等式 A.M. ≥ G.M（英语：Inequality of arithmetic and geometric means）、 柯西-施瓦茨不等式
線性代數	線性方程組、初等变换、階梯形矩陣、高斯消去法、克萊姆法則 矩陣、矩陣乘法及其不可交換性、单位矩阵、零矩陣、转置矩阵 方陣及行列式、薩呂法則、奇异方阵及非奇异方阵、逆矩阵 线性映射、線性相關 單位向量、內積、外積、三重积、二維、三維空間向量代數及向量空間（2003年或以前）
多項式方程	代數基本定理、介值定理 方程求解、解析解、根、重根、根與係數、判別式 有理函数、部分分式分解、因式定理、餘式定理、多項式除法、因式分解
複數	複數四則運算、代數性質、虛數單位、實部、虛部、共軛複數、辐角、複數的模數 複數平面、幾何表達 棣莫弗公式、解一元高次方程、複數的n次根 三角恆等式應用
函數及映射	定义域及值域、陪域、区间 單射、雙射與滿射 奇函數與偶函數、週期函數 復合函數、反函數
微积分学	極限的直觀（不包括極限嚴謹定義ε-δ语言^[8]）、數學常數${\displaystyle e}$  無窮級數、無窮序列、單調遞增、單調遞減、單調收斂定理、收斂、發散（不包括審斂法） 夾擠定理、不定式及洛必達法則 初等函數——冪函數、三角函数及反三角函数、指數函数及自然對數(${\displaystyle ln}$ ) 函數極限、連續函數及可微函数 函數圖形、導數、切線及法線、漸近線、拐點、極值 對數微分、鏈式法則、乘積法則、除法定則、高阶导数及莱布尼茨法则（英语：General Leibniz rule） 羅爾中值定理、拉格朗日中值定理 微積分基本定理、黎曼積分、不定积分（原函数）、反常積分、積分第一中值定理 積分表、降次積分法、換元積分法、分部積分法、 定積分應用——曲線弧长、平面面积、旋轉體的体积及旋轉曲面面积
平面解析幾何	笛卡爾坐標系、极坐标 弦 (幾何)、 圆锥曲线——圆、椭圆、抛物线、双曲线及其參數方程；(離心率、焦點、准线) 圓錐曲線矩陣、圓錐曲線的行列式及判別式、退化圆锥曲线 变换矩阵——平移、旋轉、反射、缩放

歷屆試題分析

純粹數學科公開考試擬題方式着重各数学领域之間的關連，以結構性的題目^[9]考核考生的理解及應用能力^[10]。

另見

• 香港中學會考附加數學科
• 香港高級補充程度會考數學與統計學
• 香港高級程度會考應用數學科
• 香港中學文憑考試數學科延伸部分

註釋

1. 該題為試卷二乙部第8題，是一條長題目，要求用微積分描繪一個給定函數的圖像。考生須在乙部6題中選答4題，由於描繪曲線題目的解答方式較機械化，選答該題的考生比例達到98%。題目的(a)(iii)部份，要求考生證明該函數的二階導數等於題目印出的數式，然而所印數式中「6-x」誤印成「x-6」，以致考生誤以為自己計算錯誤，令不少考生浪費時間檢查。

參考資料

1. 高考純數題出錯考試局道歉. 東方日報. 2001-04-02: A16. 
2. 高考純數影響大學聯招　「補鑊」方案有三試局今公布. 太陽報. 2001-04-27: A10. 
3. 高考純數不重考 調分處理 考試局免再出錯 會考試題再校對. 香港經濟日報. 2001-04-28: A22. 
4. 數ㆍ說回歸廿五年丨推三三四學制增加生涯規劃　學界指成果漸現. 商業電台. 2022-07-06 [2022-10-20]. （原始内容于2022-10-20）. 
5. 新制選科Q&A. 星島日報. 2007-12-13: F03. 
6. 新高中數學課程—學甚麼？怎樣選？. 文匯報. 2008-10-27: A18. 
7. 高考告終 72人達大學門檻. 明報加東版(多倫多). 2013-07-20. 
8. 從「微積分簡介」看數學觀與 數學教學觀 張家麟 香港教育學院數學與資訊科技學系 黃毅英 香港中文大學課程與教學學系 (PDF). 早在1990年代，縱使當年高深如高級程度純粹數學科，亦已用「極限的直觀意念」取代「ε − δ定義」 
9. 評核、擬題與數學教育 黃毅英 (PDF). 以前數學命題比較簡單,且看一九六一年香港高級程度考試純粹數學卷一第三題 ... 這類題目不只能考驗運用某類技巧的能力,且要求考生從紜紜工具中選出適用的來。然其缺點是,當考生臨場未能找出適當之工具時,他就百籌莫展,一句也寫不出來。而此題的不能得分就不能反映他的實力。所以,自七十年代開始,香港公開考試題目便漸漸流行具結構性的題目。 
10. 香港中學數學課程發展 —— 個人經歷與反思 數學教育第二十一期 (12/2005) 黃毅英. 香港中文大學課程與教學學系 (PDF). 當時純數科的試題百花齊放，變化多端。甚至不少題目是現場定義一些概念，要求學生求證一些性質，最常見的是chebycheff多項式等(黃毅英、1996)。原意是學生不須先學會這些概念才進試場。漸漸地教師要力保不失，都把這些課題塞進教學形成「超教」(over-teach)的問題。當時筆者等便批評這是由於大部分擬題者乃為大學講師或助教(因為找沒有教高考班的前線老師來擬題亦不容易)所致。他們往往將大學或更高程度的內容改頭換面變成高考題，傾向於擬出一道優美的數學題多於根據課程目的和教學去探討學生是否掌握相關的內容。在一個場合中(香港大學碩士班研討)，當年在高考有不少參與的曾鈺成先生持不同意見。他指出純數學的一個重要課程目的是問題解決，故此 考題不一定要針對特定的數學概念和技巧，而正正是要考驗考生能否融合不同的概念和技巧解決新的問題。這個觀點不無道理。在今天提出開放題與非常規題，如何測?如何避免非常規題常規化而變成另一種背誦的題型?這些也許值得我們再拿出來反思。 

外部連結

• Pure Mathematics Curriculum and Assessment Guide （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 純粹數學科課程及評估指引（高級程度）
• 香港教育局 中學課程綱要－純粹數學科 (高級程度) (1992) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Education Bureau Syllabuses for Secondary Schools - Pure Mathematics (Advanced Level) (1992) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 香港考試及評核局 高級程度會考純粹數學
• HKEAA ADVANCED LEVEL PURE MATHEMATICS
• 香港公共圖書館數碼館藏: 香港會考及高考試題特藏 香港高級程度會考 Pure Mathematics 純粹數學 （页面存档备份，存于互联网档案馆）