有理函數, 英語, rational, function, 是可以表示為以下形式的函數, displaystyle, frac, cdots, cdots, frac, quad, quad, mathbb, displaystyle, 不全為0, 有理數式是多項式除法的商, 有時稱為代數分數, 目录, 漸近線, 泰勒級數, 部分分式, 例子, 應用, 積分, 部分分數, 奧斯特洛格拉德斯基方法, 應用例子, 證明, hermite方法, 應用, 參考漸近線, 编辑主条目, 渐近线, 不失一般性可假設分子, 分母互. 有理函數 英語 Rational function 是可以表示為以下形式的函數 f x a m x m a m 1 x m 1 a 1 x a 0 b n x n b n 1 x n 1 b 1 x b 0 P m x Q n x m n N 0 displaystyle f x frac a m x m a m 1 x m 1 cdots a 1 x a 0 b n x n b n 1 x n 1 cdots b 1 x b 0 frac P m x Q n x quad quad m n in mathbb N 0 b i displaystyle b i 不全為0 有理數式是多項式除法的商 有時稱為代數分數 目录 1 漸近線 2 泰勒級數 3 部分分式 3 1 例子 3 2 應用 4 積分 4 1 部分分數 4 2 奧斯特洛格拉德斯基方法 4 2 1 應用例子 4 2 2 證明 4 3 Hermite方法 5 應用 6 參考漸近線 编辑主条目 渐近线 不失一般性可假設分子 分母互質 若存在r gt 0 displaystyle r gt 0 nbsp 使得 p x q r displaystyle px q r nbsp 是分母Q x displaystyle Q x nbsp 的因子 則有理函數存在垂直漸近線x q p displaystyle x q p nbsp 若m lt n displaystyle m lt n nbsp 有水平漸近線y 0 displaystyle y 0 nbsp 若m n displaystyle m n nbsp 有水平漸近線y a m b m displaystyle y frac a m b m nbsp 若m n 1 displaystyle m n 1 nbsp 有斜漸近線y a m b n x b n a m 1 b n 1 a m b n 2 displaystyle y frac a m b n x frac b n a m 1 b n 1 a m b n 2 nbsp 只有一条水平渐近线泰勒級數 编辑有理函數的泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係 反之 若一個泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係 它對應的函數是有理函數 部分分式 编辑部分分式 又稱部分分數 分項分式 是將有理數式分拆成數個有理數式的技巧 有理數式可分為真分式 假分式和帶分式 這和一般分數中的真分數 假分數和帶分數的概念相近 真分式分子的次數少於分母的 若有理數式P x Q x displaystyle frac P x Q x nbsp 的分母Q x displaystyle Q x nbsp 可分解為數個多項式的積 其部分分數便是 A n Q x h n x displaystyle sum frac A n Q x h n x nbsp 其中h n x displaystyle h n x nbsp 是Q x displaystyle Q x nbsp 的因子 A n displaystyle A n nbsp 是次數不大於Q x h n x 的多項式 例子 编辑 分拆x 3 5 x 88 x 2 3 x 28 displaystyle frac x 3 5x 88 x 2 3x 28 nbsp 分子的次數是3 分母的是2 所以先將它轉成真分式和多項式的和 即帶分式 x 3 32 x 4 x 2 3 x 28 displaystyle x 3 frac 32x 4 x 2 3x 28 nbsp 因為x 2 3 x 28 x 7 x 4 displaystyle x 2 3x 28 x 7 x 4 nbsp 所以32 x 4 x 2 3 x 28 A x 7 B x 4 displaystyle frac 32x 4 x 2 3x 28 frac A x 7 frac B x 4 nbsp 其中A和B是常数 两边乘以x 2 3 x 28 displaystyle x 2 3x 28 nbsp 得 32 x 4 A x 4 B x 7 displaystyle 32x 4 A x 4 B x 7 nbsp 即 32 x 4 A B x 7 B 4 A displaystyle 32x 4 A B x 7B 4A nbsp 比較係數 得 A B 32 displaystyle A B 32 nbsp 7 B 4 A 4 displaystyle 7B 4A 4 nbsp 解得A 20 B 12 displaystyle A 20 B 12 nbsp 故 x 3 5 x 88 x 2 3 x 28 x 20 x 7 12 x 4 3 displaystyle frac x 3 5x 88 x 2 3x 28 x frac 20 x 7 frac 12 x 4 3 nbsp 也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B 例如 当x 4时 我们有 128 4 11 B displaystyle 128 4 11B nbsp B 12 displaystyle B 12 nbsp 当x 7时 我们有 224 4 11 A displaystyle 224 4 11A nbsp A 20 displaystyle A 20 nbsp 應用 编辑 伸縮和 複分析 拉普拉斯變換積分 编辑部分分數 编辑 主条目 部分分式積分法 在計算有理數式的積分時 部分分數的方法很有用 因為分母的1和2次多項式的有理數式的積分都有固定的方法計算 分母為1次多項式 求 1 a x b d x displaystyle int frac 1 ax b dx nbsp 設u a x b displaystyle u ax b nbsp d u d x a displaystyle frac du dx a nbsp d u a d x displaystyle frac du a dx nbsp 原式變為 1 u d u a 1 a 1 u d u ln u a C ln a x b a C displaystyle int frac 1 u frac du a frac 1 a int frac 1 u du frac ln left u right a C frac ln left ax b right a C nbsp 分母次數為2 求 d x e a x 2 b x c d x displaystyle int frac dx e ax 2 bx c dx nbsp 若多項式a x 2 b x c displaystyle ax 2 bx c nbsp 可分解為兩個一次多項式的積 即b 2 4 a c 0 displaystyle b 2 4ac geq 0 nbsp 則可用部分分數的方法解決 若多項式不可分解 則將它配方 再用各種替代法解決 例如 x 6 x 2 8 x 25 d x displaystyle int x 6 over x 2 8x 25 dx nbsp 因為 x 2 8 x 25 x 2 8 x 16 9 x 4 2 9 displaystyle x 2 8x 25 x 2 8x 16 9 x 4 2 9 nbsp 考慮 u x 2 8 x 25 displaystyle u x 2 8x 25 nbsp d u 2 x 8 d x displaystyle du 2x 8 dx nbsp d u 2 x 4 d x displaystyle du 2 x 4 dx nbsp 將分子分解 以便應用上面的替換 x 4 x 2 8 x 25 d x 10 x 2 8 x 25 d x displaystyle int x 4 over x 2 8x 25 dx int 10 over x 2 8x 25 dx nbsp 左邊 x 4 x 2 8 x 25 d x d u 2 u 1 2 ln u C 1 2 ln x 2 8 x 25 C displaystyle int x 4 over x 2 8x 25 dx int du 2 over u 1 over 2 ln left u right C 1 over 2 ln x 2 8x 25 C nbsp 另一邊 10 x 2 8 x 25 d x 10 x 4 2 9 d x 10 9 x 4 3 2 1 d x displaystyle int 10 over x 2 8x 25 dx int 10 over x 4 2 9 dx int 10 9 over left x 4 over 3 right 2 1 dx nbsp 代入 w x 4 3 displaystyle w x 4 3 nbsp d w d x 3 displaystyle dw dx 3 nbsp 10 3 d w w 2 1 10 3 arctan w C 10 3 arctan x 4 3 C displaystyle 10 over 3 int dw over w 2 1 10 over 3 arctan w C 10 over 3 arctan left x 4 over 3 right C nbsp 另一種可行的代入方法是 tan 8 x 4 3 displaystyle tan theta x 4 over 3 nbsp x 4 3 2 1 tan 2 8 1 sec 2 8 displaystyle left x 4 over 3 right 2 1 tan 2 theta 1 sec 2 theta nbsp d tan 8 sec 2 8 d 8 d x 3 displaystyle d tan theta sec 2 theta d theta dx over 3 nbsp 10 9 x 4 3 2 1 d x 10 9 1 sec 2 8 3 sec 2 8 d 8 10 3 arctan x 4 3 C displaystyle int 10 9 over left x 4 over 3 right 2 1 dx 10 9 int frac 1 sec 2 theta 3 sec 2 theta d theta 10 over 3 arctan left x 4 over 3 right C nbsp 奧斯特洛格拉德斯基方法 编辑 奧斯特洛格拉德斯基方法 Ostrogradsky Algorithm Ostrogradsky s Method 是這樣的 設求積的有理函數為 P Q displaystyle frac P Q nbsp 其中P Q displaystyle P Q nbsp 是多項式 deg P lt deg Q displaystyle deg P lt deg Q nbsp P displaystyle P nbsp 的次數少於Q displaystyle Q nbsp 設Q 1 displaystyle Q 1 nbsp 為Q的導數Q 和Q的最大公因數 Q 2 Q Q 1 displaystyle Q 2 frac Q Q 1 nbsp 則有 P Q d x P 1 Q 1 P 2 Q 2 d x displaystyle int frac P Q dx frac P 1 Q 1 int frac P 2 Q 2 dx nbsp 其中P 1 P 2 displaystyle P 1 P 2 nbsp 為多項式 deg P i lt deg Q i displaystyle deg P i lt deg Q i nbsp 應用例子 编辑 求 x d x x 1 2 x 1 3 displaystyle int frac xdx x 1 2 x 1 3 nbsp Q x 1 2 x 1 3 displaystyle Q x 1 2 x 1 3 nbsp Q 2 x 1 x 1 3 3 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 2 5 x 1 displaystyle Q 2 x 1 x 1 3 3 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 2 5x 1 nbsp Q 1 g c d Q Q x 1 x 1 2 displaystyle Q 1 gcd Q Q x 1 x 1 2 nbsp Q 2 Q Q 1 x 1 x 1 displaystyle Q 2 Q Q 1 x 1 x 1 nbsp 設 P 1 A x 2 B x C P 2 D x E displaystyle P 1 Ax 2 Bx C quad P 2 Dx E nbsp x d x x 1 2 x 1 3 A x 2 B x C x 1 x 1 2 D x E x 1 x 1 d x displaystyle int frac xdx x 1 2 x 1 3 frac Ax 2 Bx C x 1 x 1 2 int frac Dx E x 1 x 1 dx nbsp 兩邊取導數 x x 1 2 x 1 3 A x 3 2 B A x 2 3 C B 2 A x C B x 1 2 x 1 3 D x E x 1 x 1 displaystyle frac x x 1 2 x 1 3 frac Ax 3 2B A x 2 3C B 2A x C B x 1 2 x 1 3 frac Dx E x 1 x 1 nbsp 通分母 右邊的分子為 D x 4 E D A x 3 E D 2 B A x 2 E D 3 C B 2 A x E C B displaystyle Dx 4 E D A x 3 E D 2B A x 2 E D 3C B 2A x E C B nbsp 比較分子的多項式的係數 得A B E 0 125 C 0 25 D 0 displaystyle A B E 0 125 C 0 25 D 0 nbsp 於是有 x d x x 1 2 x 1 3 x 2 x 2 8 1 x x 1 2 d x 8 x 1 x 1 displaystyle int frac xdx x 1 2 x 1 3 frac x 2 x 2 8 1 x x 1 2 int frac dx 8 x 1 x 1 nbsp 後者可用部分分數的方法求得 證明 编辑 P Q d x P 1 Q 1 P 2 Q 2 d x displaystyle int frac P Q dx frac P 1 Q 1 int frac P 2 Q 2 dx nbsp P Q P 1 Q 1 P 1 Q 1 Q 1 P 2 Q 2 displaystyle frac P Q frac P 1 frac Q 1 P 1 Q 1 Q 1 frac P 2 Q 2 nbsp 兩邊乘以Q displaystyle Q nbsp P P 1 Q 2 Q 1 Q 2 P 1 Q 1 P 2 Q 1 displaystyle P P 1 Q 2 frac Q 1 Q 2 P 1 Q 1 P 2 Q 1 nbsp 由於 Q 1 Q 2 Q Q 1 Q 2 displaystyle Q 1 Q 2 Q Q 1 Q 2 nbsp 而Q displaystyle Q nbsp 和Q 1 Q 2 displaystyle Q 1 Q 2 nbsp 都是Q 1 displaystyle Q 1 nbsp 的倍數 所以Q 1 Q 2 P 1 Q 1 displaystyle frac Q 1 Q 2 P 1 Q 1 nbsp 是多項式 比較兩邊多項式的次數 deg P deg Q 1 displaystyle deg P leq deg Q 1 nbsp deg P 1 Q 2 deg Q 1 1 deg Q deg Q 1 deg Q 1 displaystyle deg P 1 Q 2 leq deg Q 1 1 deg Q deg Q 1 deg Q 1 nbsp deg Q 1 Q 2 P 1 Q 1 deg Q 1 1 deg Q deg Q 1 deg Q 1 1 deg Q 1 deg Q 2 displaystyle deg frac Q 1 Q 2 P 1 Q 1 leq deg Q 1 1 deg Q deg Q 1 deg Q 1 1 deg Q 1 deg Q 2 nbsp deg P 2 Q 1 deg Q deg Q 1 1 deg Q 1 deg Q 1 displaystyle deg P 2 Q 1 leq deg Q deg Q 1 1 deg Q 1 deg Q 1 nbsp 因此P 1 P 2 displaystyle P 1 P 2 nbsp 有解 Hermite方法 编辑應用 编辑帕德近似 插值參考 编辑Ostrogradsky s method 页面存档备份 存于互联网档案馆 http www math uncc edu droyster courses fall01 classnotes Lecture08 pdf 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 有理函數 amp oldid 77559424, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,