互質

互质（英文：Coprime，符號：⊥，又稱互素、relatively prime、mutually prime、co-prime）^[1]。在數論中，如果兩個或兩個以上的整數的最大公因數是1，則稱它們為互质^[2]。依此定義：

• 如果數域是正整數${\displaystyle \mathbb {N^{+}} }$，那麼1與所有正整數互質^[3]。
• 如果數域是整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$，那麼1和-1與所有整數互質^[4]，而且它們是僅有與0互質的整數^[5]。

兩個整數a與b互質，記為a ⊥ b。

互質的例子

例如 8 與 10 的最大公因數是 2，不是 1，因此它們並不互质。
又例如 7, 10, 13 的最大公因數是 1，因此它們互质。

最大公因数可以通过辗转相除法得到。

整集互質與兩兩互質

三个或三个以上的整數互质有两种不同的情况：

• 這些整數的最大公因數是 1，我們直接稱這些整數互質^[6]，也稱為整集互質（英語：setwise coprime）^[7]。以 ${\displaystyle \{6,8,9\}}$  為例：

${\displaystyle \gcd(6,8,9)=\gcd(\gcd(6,8),9)=\gcd(2,9)=1}$ 

• 这些整數是两两互质的（英語：pairwise coprime）。以 ${\displaystyle \{7,8,9\}}$  為例:

${\displaystyle \gcd(7,8)=\gcd(7,9)=\gcd(8,9)=1\Rightarrow \gcd(7,8,9)=\gcd(\gcd(7,8),9)=\gcd(7,\gcd(8,9))=\gcd(\gcd(7,9),8)=1}$ 

兩兩互質是較為嚴格的互質，如果一個整數集合是兩兩互質的，它也必定是整集互質，但是整集互質不必然是兩兩互質，甚至可能兩兩皆不互質，例如${\displaystyle \gcd(6,15,10)=1}$ ，是整集互質，但${\displaystyle \gcd(6,15)=3}$ 、${\displaystyle \gcd(15,10)=5}$ 、${\displaystyle \gcd(10,6)=2}$ ，任兩者皆不互質。

性質

性质之一：整数a和b互质当且仅当存在整数x,y使得xa+yb=1。 或者，一般的，有存在整数x,y使得xa+yb=d，其中d是a和b的最大公因数。（贝祖等式）

判别方法

1. 两个不同的质数一定互质。例如，2与7、13与19。
2. 一个质数，另一个不为它的倍数，这两个数互质。例如，3与10、5与 26。
3. 1和任何一个自然数都互质。如1和9908。
4. 相邻两个自然数互质。如15与16。
5. 相邻两个奇数互质。如49与51。
6. 较大数是质数，則两个数互质。如97与88。
7. 两数都是合数（二数差较大），较小数所有的质因数，都不是较大数的因数，这两个数互质。如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的因数，故这两数互质。
8. 两数都是合数（二数差较小），这两数之差的所有质因数都不是较小数的因数，这两个数互质。如85和78。85－78=7，7不是78的因数，故这两数互质。
9. 两数都是合数，较大数除以较小数的余数（大于“1”）的所有质因数，都不是较小数的因数，則两数互质。如 462与 221，462÷221=2...20，20=2×2×5。2、5都不是221的因数，故这两数互质。
10. 輾轉相除法。如255与182。255－182=73，182－（73×2）=36，73－（36×2）=1，則（255，182）=1。故这两数互质。

參考來源

1. Eaton, James S. Treatise on Arithmetic. 1872. May be downloaded from: http://archive.org/details/atreatiseonarit05eatogoog
2. Number Theory in Science and Communication, p.28. [2014-10-19]. （原始内容于2014-10-19）. 
3. Wiktionary - coprime （页面存档备份，存于互联网档案馆） 以正整數為數域來定義互質。
4. ProofWiki > Definition:Coprime/Integers. [2014-10-19]. （原始内容于2020-03-27）. 
5. ProofWiki > Integers Coprime to Zero. [2014-10-19]. （原始内容于2020-03-27）. 
6. StackExchange > a problem with coprime numbers. [2014-10-19]. （原始内容于2020-09-21）. 
7. Algebra II: Chapters 4-7, p.14

外部參考

• Final Answers > Number Theory（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 史丹福大學離散結構講義（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Abstract Algebra: An Inquiry Based Approach, p.45（页面存档备份，存于互联网档案馆）