渐近线

在解析几何和微分学中，曲线的渐近线（英語：Asymptote^{[註 1]}）是一条使得当x或y坐标之一或两者趋于无穷大时，曲线与该线之间的距离接近零的线。在射影几何和相关上下文中，曲线的渐近线是在无穷大点处与曲线相切的线。

渐近线分为三种类型：水平，垂直和倾斜。对于由函数y =ƒ（x）的图给出的曲线，水平渐近线是水平线，函数的图随着x趋于+∞或-∞趋近于水平线。垂直渐近线是垂直线，函数在该垂直线附近无限增长。斜渐近线的斜率非零但有限，因此当x趋于+∞或-∞时，函数的图接近该斜率。

更一般地说，如果两条曲线之间的距离趋于无穷大，则两条曲线之间的距离趋向于零，则一条曲线是另一条曲线的曲线渐近线，尽管术语“渐近线”本身通常是为线性渐近线保留的。

渐近线传达有关大曲线特性的信息，确定函数的渐近线是绘制函数图的重要步骤。从广义上讲，对功能渐近线的研究是渐近分析主题的一部分。当任意曲线上一点${\displaystyle M}$沿曲线无限远离原点时，如果${\displaystyle M}$到一条直线（或另外一条曲线）的距离无限趋近于零，那么这条直线（曲线）称为这条曲线的渐近线。數學上的定義則是：若函數${\displaystyle y=f\left(x\right)}$的圖形收斂，則漸近線為${\displaystyle y=\lim _{x\to \infty }f\left(x\right)}$。

例解

例如，直线${\displaystyle y={\frac {b}{a}}x}$ 是双曲线${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ 的渐近线，因为双曲线上的点${\displaystyle M}$ 到直线${\displaystyle y={\frac {b}{a}}x}$ 的距离${\displaystyle MQ<MN}$ ；当${\displaystyle MN}$ 无限趋近于0时，${\displaystyle MQ}$ 也无限趋近于0。所以按照定义，直线${\displaystyle y={\frac {b}{a}}x}$ 是该双曲线的渐近线。同理，直线${\displaystyle y=-{\frac {b}{a}}x}$ 也是该双曲线的渐近线。

对于${\displaystyle F\left(x,y\right)=0}$ 来说，如果当${\displaystyle x\rightarrow a}$ 时，有${\displaystyle y\rightarrow \pm \infty }$ (左右極限不一定相等)，就把${\displaystyle x=a}$ 叫做${\displaystyle F\left(x,y\right)=0}$ 的垂直渐近线；如果当${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ 时，有${\displaystyle y\rightarrow b}$ ，就把${\displaystyle y=b}$ 叫做${\displaystyle F\left(x,y\right)=0}$ 的水平渐近线。例如，${\displaystyle y=3}$ 是曲线${\displaystyle xy=3x+2}$ 的水平渐近线。

求法

依据

求渐近线，可以依据以下结论：

若极限${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=a}$ 存在，且极限${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=b}$ 也存在，那么曲线${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ 具有渐近线${\displaystyle y=ax+b}$ 。

例子

例：求${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{1+x}}}$ 的渐近线。

解：(1)${\displaystyle x=-1}$ 为其垂直渐近线。

(2)${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f\left(x\right)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{1+x}}}$ ，即${\displaystyle a=1}$ ；

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\lim _{x\to \infty }{\frac {-x}{1+x}}=-1}$ ，即${\displaystyle b=-1}$ ；

所以${\displaystyle y=x-1}$ 也是其渐近线。

注释

1. 渐近线这个词源于希腊语ἀσύμπτωτος（asumptōtos），意为“不在一起。 +σύν“在一起” +πτωτ-ός“堕落”。该术语是Perga的Apollonius在其圆锥截面的工作中引入的，但与它的现代含义相反，他用它来表示不与给定曲线相交的任何直线。