双曲线, 此條目缺少有關幾何性質的信息, 2023年3月1日, 請擴充此條目相關信息, 討論頁可能有詳細細節, 此條目没有列出任何参考或来源, 2023年3月1日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除, 在数学中, 英語, hyperbola, 希臘語, ὑπερβολή, 意思是超过, 超出, 是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线, 它还可以定义为与两个固定的点, 称为焦点, 的距离差是常数的点的轨迹, 这个固定的距离差是a,. 此條目缺少有關幾何性質的信息 2023年3月1日 請擴充此條目相關信息 討論頁可能有詳細細節 此條目没有列出任何参考或来源 2023年3月1日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 在数学中 双曲线 英語 hyperbola 希臘語 ὑperbolh 意思是超过 超出 是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线 它还可以定义为与两个固定的点 称为焦点 的距离差是常数的点的轨迹 这个固定的距离差是a displaystyle a 的两倍 这里的a displaystyle a 是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离 a displaystyle a 还称为双曲线的半实轴 焦点位于贯轴上 它们的中间点称为中心 从代数上说 双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线 A x 2 B x y C y 2 D x E y F 0 displaystyle Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0 使得B 2 gt 4 A C displaystyle B 2 gt 4AC 这裡的所有系数都是实数 并存在定义在双曲线上的点对 x y displaystyle x y 的多于一个的解 在笛卡尔坐标平面上 两个互为倒数的变量的图像是双曲线 目录 1 定义 2 笛卡尔坐标 2 1 等軸雙曲線 2 2 共軛雙曲線 3 极坐标 4 双曲线的参数方程 5 双曲线的标准方程 6 双曲线的渐近线方程 7 圆锥曲线方程 8 参考文献 9 外部链接 10 参见定义 编辑 nbsp 共轭单位直角双曲线上面已经列出 平面切直角圆锥面的两半的交截线 与两个固定点 称为焦点 距离差为常数的点的轨迹 到一个焦点的距离和到一条直线 称为准线 的距离的比例是大于1 displaystyle 1 nbsp 的常数的点的轨迹 这个常数称为双曲线的离心率 双曲线由分开两个焦点的两个分离的称为臂或分支的曲线构成 随着到焦点的距离的变大 双曲线就越逼近称为渐近线的两条线 渐近线交叉于双曲线的中点 并对于东西开口的双曲线有斜率 b a displaystyle pm frac b a nbsp 对于北南开口的双曲线有斜率 a b displaystyle pm frac a b nbsp 双曲线有个性質 出自一个焦点的射线反射于双曲线后看起来像是出自另一个焦点 双曲线的一个特殊情况是 等轴 或 直角 双曲线 它的渐近线交于直角 以坐标轴作为渐近线的直角双曲线由方程x y c displaystyle xy c nbsp 给出 这裡的c displaystyle c nbsp 是常数 如果对双曲线方程交换x displaystyle x nbsp 和y displaystyle y nbsp 得到它的共轭双曲线 共轭双曲线有同样的渐近线 笛卡尔坐标 编辑中心位于 h k displaystyle h k nbsp 的左右开口的双曲线 x h 2 a 2 y k 2 b 2 1 displaystyle frac left x h right 2 a 2 frac left y k right 2 b 2 1 nbsp 中心位于 h k displaystyle h k nbsp 的上下开口的双曲线 y k 2 a 2 x h 2 b 2 1 displaystyle frac left y k right 2 a 2 frac left x h right 2 b 2 1 nbsp 实轴贯穿双曲线的中心并交双曲线两臂于它们的顶点 焦点位于双曲线实轴的延长线上 虚轴贯穿双曲线中点并垂直于实轴 在两个公式中 a displaystyle a nbsp 是半实轴 在双曲线两臂之间沿着实轴测量的距离 而b displaystyle b nbsp 是半虚轴 如果用双曲线的两个顶点的切线交渐近线形成一个矩形 在切线上的两边的长度是2 b displaystyle 2b nbsp 平行于实轴的两边的长度是2 a displaystyle 2a nbsp 注意b displaystyle b nbsp 可以大于a displaystyle a nbsp 如果计算从双曲线上任意准线上的点到每个焦点的距离 这两个距离的差的绝对值总是2 a displaystyle 2a nbsp nbsp 直角双曲线y 1 x displaystyle y tfrac 1 x nbsp 的图像 离心率给出自 e 1 b 2 a 2 displaystyle e sqrt 1 frac b 2 a 2 nbsp 左右开口的双曲线的焦点是 h c k displaystyle left h pm c k right nbsp 其中c给出自c 2 a 2 b 2 displaystyle c 2 a 2 b 2 nbsp 上下开口的双曲线的焦点是 h k c displaystyle left h k pm c right nbsp 其中c给出自c 2 a 2 b 2 displaystyle c 2 a 2 b 2 nbsp 等軸雙曲線 编辑 等轴双曲线的实轴与虚轴长相等 即2 a 2 b displaystyle 2a 2b nbsp 且e 2 displaystyle e sqrt 2 nbsp 此时渐近线方程为y x displaystyle y pm x nbsp 无论焦点在x displaystyle x nbsp 轴还是y displaystyle y nbsp 轴 单位双曲线属于等轴双曲线 且半实轴和半虚轴的长均为1 displaystyle 1 nbsp 即a b 1 displaystyle a b 1 nbsp 满足方程 x 2 y 2 1 displaystyle x 2 y 2 1 nbsp 或y 2 x 2 1 displaystyle y 2 x 2 1 nbsp 对于以直线x h displaystyle x h nbsp 和直线y k displaystyle y k nbsp 为渐近线的直角双曲线 x h y k c displaystyle x h y k c nbsp 这种双曲线最简单的例子是 y m x displaystyle y frac m x nbsp 共軛雙曲線 编辑 當双曲线S displaystyle S nbsp 的实轴是双曲线S displaystyle S nbsp 的虚轴 且双曲线S displaystyle S nbsp 的虚轴是双曲线S displaystyle S nbsp 的实轴时 称双曲线S displaystyle S nbsp 与双曲线S displaystyle S nbsp 为共轭双曲线 若S displaystyle S nbsp 的方程為 x 2 a 2 y 2 b 2 1 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 nbsp 則S displaystyle S nbsp 的方程為 y 2 b 2 x 2 a 2 1 displaystyle frac y 2 b 2 frac x 2 a 2 1 nbsp 其特点為 共渐近线 与渐近线平行的直线和双曲线有且只有一个交点 焦距相等 两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1 displaystyle 1 nbsp 极坐标 编辑左右开口的双曲线 r 2 a 2 sec 2 8 displaystyle r 2 a 2 sec 2 theta nbsp 上下开口的双曲线 r 2 a 2 sec 2 8 displaystyle r 2 a 2 sec 2 theta nbsp 上右下左开口的双曲线 r 2 a 2 csc 2 8 displaystyle r 2 a 2 csc 2 theta nbsp 上左下右开口的双曲线 r 2 a 2 csc 2 8 displaystyle r 2 a 2 csc 2 theta nbsp 在所有公式中 中心在极点 而a displaystyle a nbsp 是半实轴和半虚轴 双曲线的参数方程 编辑如同正弦和余弦函数给出椭圆的参数方程 双曲函数给出双曲线的参数方程 左右开口的双曲线 x a sec t h y b tan t k displaystyle begin cases x a sec t h y b tan t k end cases nbsp 或 x a cosh t h y b sinh t k displaystyle begin cases x a cosh t h y b sinh t k end cases nbsp 上下开口的双曲线 x b tan t h y a sec t k displaystyle begin cases x b tan t h y a sec t k end cases nbsp 或 x b sinh t h y a cosh t k displaystyle begin cases x b sinh t h y a cosh t k end cases nbsp 在所有公式中 h k displaystyle h k nbsp 是双曲线的中点 a displaystyle a nbsp 是半实轴而b displaystyle b nbsp 是半虚轴 双曲线的标准方程 编辑焦点在x displaystyle x nbsp 轴 x 2 a 2 y 2 b 2 1 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 nbsp 焦点在y displaystyle y nbsp 轴 y 2 a 2 x 2 b 2 1 displaystyle frac y 2 a 2 frac x 2 b 2 1 nbsp 双曲线的渐近线方程 编辑焦線平行於x displaystyle x nbsp 轴 y b a x displaystyle y pm frac b a x nbsp 焦線平行於y displaystyle y nbsp 轴 y a b x displaystyle y pm frac a b x nbsp 圆锥曲线方程 编辑r e p 1 e cos 8 displaystyle rho frac ep 1 e cos theta nbsp 当e gt 1 displaystyle e gt 1 nbsp 时 表示双曲线 其中p displaystyle p nbsp 为焦点到准线距离 8 displaystyle theta nbsp 为弦与x displaystyle x nbsp 轴夹角 参考文献 编辑外部链接 编辑Unit hyperbola PlanetMath Conic section PlanetMath Conjugate hyperbola PlanetMath 失效連結 Mathworld Hyperbola 页面存档备份 存于互联网档案馆 参见 编辑圆锥曲线 双曲函数 取自 https zh wikipedia org w index php title 双曲线 amp oldid 78896175, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,