椭圆, 此條目没有列出任何参考或来源, 2019年12月12日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而移除, 在数学中, 是平面上到两个相異固定点的距离之和为常数的点之轨迹, 和它的某些数学性质, 根據該定義, 可以用手繪橢圓, 先準備一條線, 將這條線的兩端各綁在固定的點上, 這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點, 且距離小於線長, 取一支筆, 用筆尖将線繃緊, 這時候兩個點和筆就形成一個三角形, 的兩邊, 然後左右移動筆尖拉著線開始作圖, 持續地使. 此條目没有列出任何参考或来源 2019年12月12日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而移除 在数学中 椭圆是平面上到两个相異固定点的距离之和为常数的点之轨迹 椭圆和它的某些数学性质 根據該定義 可以用手繪橢圓 先準備一條線 將這條線的兩端各綁在固定的點上 這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點 且距離小於線長 取一支筆 用筆尖将線繃緊 這時候兩個點和筆就形成一個三角形 的兩邊 然後左右移動筆尖拉著線開始作圖 持續地使線繃緊 最後就可以完成一個橢圓圖形 由於兩個固定點之間的距離也是一定的 所以可以省去綁在點上這一步驟而改將線綁成環狀 然後以筆尖和這兩個焦點將線繃直即可 下同 目录 1 概述 2 离心率 3 方程 3 1 相對於中心的極坐標形式 3 2 相對於焦點的極坐標形式 3 2 1 半正焦弦和极坐标 4 面积和周长 5 标准方程的推导 6 椭圆的旋转和平移 7 漸開線及其導數 8 参见 9 外部链接概述 编辑 一個平面切截一個圓錐面得到的橢圓 椭圆是一种圆锥曲线 如果一个平面切截一个圆锥面 且不与它的底面相交 也不与它的底面平行 则圆锥和平面交截线是个椭圆 在代数上说 椭圆是在笛卡尔平面上如下形式的方程所定义的曲线 A x 2 B x y C y 2 D x E y F 0 displaystyle Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0 使得 B 2 lt 4 A C displaystyle B 2 lt 4AC 这里的係数都是实数 并存在定义在椭圆上的点对 x y 的多于一个的解 穿过两焦点并终止于椭圆上的线段AB叫做长轴 长轴是通过连接椭圆上的两个点所能获得的最长线段 穿过中心 两焦点的连线的中点 垂直于长轴并且终止于椭圆的线段CD叫做短轴 半長軸 图中指示为 a 是长轴的一半 从中心通过一个焦点到椭圆的边缘的线段 半短軸 图中指示为 b 是短轴的一半 如果两个焦点重合 则这个椭圆是圆 换句话说 圆是离心率为零的椭圆 中心位于原点的椭圆 A x 2 B x y C y 2 1 displaystyle Ax 2 Bxy Cy 2 1 可以被看作单位圆在关联于对称矩阵 A A B 2 B 2 C P D P T displaystyle A prime begin bmatrix A amp B 2 B 2 amp C end bmatrix PDP T 的线性映射下的图像 这里的 D 是带有 A displaystyle A prime 的特征值的对角矩阵 二者沿着主对角线都是正实数的 而 P 是拥有 A displaystyle A prime 的特征向量作为纵列的实数的酉矩阵 椭圆的长短轴分别沿着 A displaystyle A prime 的两个特征向量的方向 而两个与之对应的特征值分别是半长轴和半短轴的长度的平方的倒数 椭圆可以通过对一个圆的所有点的 x 坐标乘以一个常数而不改变 y 坐标来生成 离心率 编辑 形狀母數 C 中心F1 焦點一 F2 焦點二 a 半长轴 b 半短轴 c 半焦距 p 半正焦弦 通常標示作ℓ displaystyle ell 椭圆的形状可以用叫做椭圆的离心率的一个数来表达 习惯上指示为 e displaystyle varepsilon 离心率是小于 1 大于等于 0 的实数 离心率 0 表示着两个焦点重合而这个椭圆是圆 对于有半长轴 a 和半短轴 b 的椭圆 离心率是 e 1 b 2 a 2 displaystyle varepsilon sqrt 1 frac b 2 a 2 离心率越大 a 与 b 的比率就越大 因此椭圆被更加拉长 半焦距c 等于从中心到任一焦点的距离 c a 2 b 2 displaystyle c sqrt a 2 b 2 则 e c a displaystyle varepsilon frac c a 半焦距 c 也叫做椭圆的线性离心率 在两个焦点间的距离是 2c 2ae 方程 编辑 在正規位置上的橢圓的參數方程 參數 t 是藍線對於 X 軸的角度 中心位于点 h k displaystyle h k 的主轴平行于 x 轴的椭圆由如下方程指定 x h 2 a 2 y k 2 b 2 1 displaystyle frac x h 2 a 2 frac y k 2 b 2 1 这个椭圆可以参数化表达为 x h a cos t displaystyle x h a cos t y k b sin t displaystyle y k b sin t 这里的 t displaystyle t 可以限制于区间 p t p displaystyle pi leq t leq pi 如果 h 0 displaystyle h 0 且 k 0 displaystyle k 0 就是说 如果中心是原点 0 0 则 x a cos t displaystyle x a cos t y b sin t displaystyle y b sin t 这个参数方程揭示了两个方向相互垂直的简谐运动 表现为具有周期性的简谐波 合成了闭合的椭圆形周期性运动 表现为轨迹是椭圆 椭圆方程 x 2 a 2 y 2 b 2 1 a gt b gt 0 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 a gt b gt 0 y 2 a 2 x 2 b 2 1 a gt b gt 0 displaystyle frac y 2 a 2 frac x 2 b 2 1 a gt b gt 0 图像范围 a x a b y b displaystyle a leq x leq a b leq y leq b a y a b x b displaystyle a leq y leq a b leq x leq b 相對於中心的極坐標形式 编辑 用极坐标可表达为 C P r a b a 2 sin 2 ps b 2 cos 2 ps b 1 e 2 cos 2 ps displaystyle overline CP r frac ab sqrt a 2 sin 2 psi b 2 cos 2 psi frac b sqrt 1 varepsilon 2 cos 2 psi 这里的 e displaystyle varepsilon 是椭圆的离心率 ps displaystyle psi 是 C B displaystyle overline CB 与 C P displaystyle overline CP 的夹角 相對於焦點的極坐標形式 编辑 橢圓的極坐標 原點在 F1 有一个焦点在原点的椭圆的极坐标方程是 F 1 P r a 1 e 2 1 e cos 8 displaystyle overline F 1 P r frac a cdot 1 varepsilon 2 1 varepsilon cdot cos theta 这里的 8 displaystyle theta 是 F 1 B displaystyle overline F 1 B 与 F 1 P displaystyle overline F 1 P 的夹角 半正焦弦和极坐标 编辑 椭圆的半正焦弦 通常指示为 ℓ displaystyle ell 是从椭圆的一个焦点到椭圆自身 沿着垂直主轴的直线测量的距离 它有关于 a displaystyle a 和 b displaystyle b 椭圆的半轴 通过公式 a ℓ b 2 displaystyle a ell b 2 或者如果使用离心率的话 ℓ a 1 e 2 displaystyle ell a cdot 1 varepsilon 2 在极坐标中 一个焦点在原点而另一个焦点在负 x 轴上的椭圆给出自方程 r 1 e cos 8 ℓ displaystyle r cdot 1 varepsilon cdot cos theta ell 椭圆可以被看作是圆的投影 在与水平面有角度 f 的平面上的圆垂直投影到水平面上给出离心率 sin f 的椭圆 假定 f 不是 90 橢圓 用紅色繪制 可以表達為内旋轮线在 R 2r 時的特殊情況 面积和周长 编辑椭圆所包围的面积是 p a b displaystyle pi ab 这里的 a displaystyle a 和b displaystyle b 是半长轴和半短轴 在圆的情况下a b displaystyle a b 表达式简化为 p a 2 displaystyle pi a 2 椭圆的周长是 4 a E c a displaystyle 4aE frac c a 这里的函数E displaystyle E 是第二类完全椭圆积分 周长为 C 4 a 0 p 2 1 c a 2 sin 2 8 d 8 displaystyle C 4a int 0 frac pi 2 sqrt 1 left frac c a right 2 sin 2 theta rm d theta 或者C 4 a 0 1 1 c a 2 t 2 1 t 2 d t displaystyle C 4a int 0 1 frac sqrt 1 left frac c a right 2 t 2 sqrt 1 t 2 rm d t 精确的无穷级数为 C 2 p a 1 1 2 2 c 2 a 2 1 3 2 4 2 c 4 3 a 4 1 3 5 2 4 6 2 c 6 5 a 6 displaystyle C 2 pi a left 1 left 1 over 2 right 2 frac c 2 a 2 left 1 cdot 3 over 2 cdot 4 right 2 c 4 over 3a 4 left 1 cdot 3 cdot 5 over 2 cdot 4 cdot 6 right 2 c 6 over 5a 6 dots right 或 C 2 p a n 0 m 1 n 2 m 1 2 m 2 c 2 n a 2 n 2 n 1 displaystyle C 2 pi a sum n 0 infty left lbrace left prod m 1 n left 2m 1 over 2m right right 2 c 2n over a 2n left 2n 1 right right rbrace 拉马努金给出一较为接近的式子 C p 3 a b 3 a b a 3 b displaystyle C approx pi left 3 a b sqrt 3a b a 3b right 它还可以写为 C 3 a p 1 1 c a 2 a p 3 1 c a 2 1 3 1 c a 2 displaystyle C approx 3a pi left 1 sqrt 1 left frac c a right 2 right a pi sqrt left 3 sqrt 1 left frac c a right 2 right left 1 3 sqrt 1 left frac c a right 2 right 还有一条近似很高的公式 C p a b 1 3 a b a b 2 10 4 3 a b a b 2 1 22 7 p 1 a b a 33 a b a 697 1000 displaystyle C approx pi a b left 1 frac 3 left frac a b a b right 2 10 sqrt 4 3 left frac a b a b right 2 right left 1 left frac 22 7 pi 1 right left frac a b a right 33 sqrt 1000 left frac a b a right 697 right 标准方程的推导 编辑如果在一个平面内一个动点到两个定点的距离的和等于定长 那么这个动点的轨迹叫做椭圆 假设 注意所有假设只是为了导出椭圆方程时比较简便 动点为P x y displaystyle P x y 两个定点为F 1 c 0 displaystyle F 1 c 0 和F 2 c 0 displaystyle F 2 c 0 则根据定义 动点P displaystyle P 的轨迹方程满足 定义式 P F 1 P F 2 2 a a gt 0 displaystyle PF 1 PF 2 2a a gt 0 其中2 a displaystyle 2a 为定长 用两点的距离公式可得 P F 1 x c 2 y 2 displaystyle PF 1 sqrt x c 2 y 2 P F 2 x c 2 y 2 displaystyle PF 2 sqrt x c 2 y 2 代入定义式中 得 x c 2 y 2 x c 2 y 2 2 a displaystyle sqrt left x c right 2 y 2 sqrt left x c right 2 y 2 2a 上式左方分子凑出平方差 并化简 得 x c 2 y 2 x c 2 y 2 x c 2 y 2 x c 2 y 2 2 a displaystyle frac left x c right 2 y 2 left left x c right 2 y 2 right sqrt left x c right 2 y 2 sqrt left x c right 2 y 2 2a 分子大部分相消 分母移项即得 x c 2 y 2 x c 2 y 2 2 x c a displaystyle sqrt left x c right 2 y 2 sqrt left x c right 2 y 2 frac 2xc a 式相加并平方 整理得 x 2 a 2 c 2 a 2 y 2 a 2 c 2 displaystyle x 2 left frac a 2 c 2 a 2 right y 2 a 2 c 2 当a gt c displaystyle a gt c 时 并设a 2 c 2 b 2 displaystyle a 2 c 2 b 2 则上式可以进一步化简 x 2 b 2 a 2 y 2 b 2 displaystyle x 2 frac b 2 a 2 y 2 b 2 因为b 2 gt 0 displaystyle b 2 gt 0 将上式两边同除以b 2 displaystyle b 2 可得 x 2 a 2 y 2 b 2 1 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 则该方程即动点P displaystyle P 的轨迹方程 即椭圆的方程 这个形式也是椭圆的标准方程 椭圆的图像如果在直角坐标系中表示 那么上述定义中两个定点被定义在了x轴 若将两个定点改在y轴 可以用相同方法求出另一个椭圆的标准方程 y 2 a 2 x 2 b 2 1 a gt b gt 0 displaystyle frac y 2 a 2 frac x 2 b 2 1 a gt b gt 0 在方程中 所设的2 a displaystyle 2a 称为长轴长 2 b displaystyle 2b 称为短轴长 而所设的定点称为焦点 那么2 c displaystyle 2c 称为焦距 在假设的过程中 假设了a gt c displaystyle a gt c 如果不这样假设 会发现得不到椭圆 当a c displaystyle a c 时 这个动点的轨迹是一个线段 当a lt c displaystyle a lt c 时 根本得不到实际存在的轨迹 而这时 其轨迹称为虚椭圆 另外还要注意 在假设中 还有一处 a 2 c 2 b 2 displaystyle a 2 c 2 b 2 通常认为圆是椭圆的一种特殊情况 椭圆的旋转和平移 编辑对于平面上任意椭圆 A x 2 2 B x y C y 2 D x E y F 0 displaystyle Ax 2 2Bxy Cy 2 Dx Ey F 0 总可以将之转化为 A x u 2 2 B x u y v C y v 2 f 0 displaystyle A x u 2 2B x u y v C y v 2 f 0 的形式 具体步骤为 将后式的各乘积乘方项展开 根据与前式对应项係数相等的法则便可求得u v f的值 其中 u v displaystyle u v 便是该椭圆的中心 f 0 若将 x x u displaystyle x x prime u y y v displaystyle y y prime v 代入式中便可得到平移前的椭圆 若B 0 displaystyle B neq 0 则表示椭圆的长短轴与坐标系的坐标轴并不平行或垂直 即发生了旋转 设旋转的角度为f displaystyle displaystyle varphi 则有 t a n 2 f 2 B A C displaystyle displaystyle tan 2 varphi frac 2B A C 当A C 0 displaystyle A C 0 则说明f p 4 displaystyle varphi pm frac pi 4 若将 x x cos f y sin f displaystyle x x prime cos varphi y prime sin varphi y y cos f x sin f displaystyle y y prime cos varphi x prime sin varphi 代入式中便可得到旋转前的椭圆 漸開線及其導數 编辑 x a cos t a b E t a 2 b 2 a sin t a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t y b sin t b 2 E t a 2 b 2 a cos t a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t displaystyle begin cases x a cos t cfrac abE left t cfrac sqrt a 2 b 2 a right sin t sqrt a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t y b sin t cfrac b 2 E left t cfrac sqrt a 2 b 2 a right cos t sqrt a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t end cases d x d t b 2 sin 2 t 2 b 2 sin t E t a 2 b 2 a a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t a b a 2 b 2 sin 2 t E t a 2 b 2 a sin t 2 a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t a sin t d y d t b 3 sin 2 t 2 a b 2 sin t E t a 2 b 2 a a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t a b 2 a 2 b 2 sin 2 t E t a 2 b 2 a sin t 2 a a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t b cos t displaystyle begin cases cfrac rm d x rm d t cfrac left b 2 sin 2t 2b 2 sin t cdot E left t cfrac sqrt a 2 b 2 a right right left a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t right ab left a 2 b 2 right sin 2t cdot E left t cfrac sqrt a 2 b 2 a right sin t 2 left a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t right sqrt a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t a sin t cfrac rm d y rm d t cfrac left b 3 sin 2t 2ab 2 sin t cdot E left t cfrac sqrt a 2 b 2 a right right left a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t right ab 2 left a 2 b 2 right sin 2t cdot E left t cfrac sqrt a 2 b 2 a right sin t 2a left a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t right sqrt a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t b cos t end cases 有了橢圓漸開線的導數 可以計算它的長度 其中E t a 2 b 2 a displaystyle E left t frac sqrt a 2 b 2 a right 是第二類完全橢圓積分 参见 编辑圆锥曲线 开普勒定律 類球面 橢球坐標系 椭圆规 超橢圓 椭球體 三 椭圆形外部链接 编辑明末清初西方椭圆知识在中国的传播 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 椭圆 amp oldid 76276352, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,