類球面

椭圆围绕一个垂直轴旋转而成的类球面

扁球面		長球面

類球面是一種二次曲面。二維的橢圓有兩個主軸，稱為長軸與短軸。在三維空間裏，將一個橢圓繞著其任何一主軸旋轉，則可得到一個類球面。

• 假若，這旋轉主軸是長軸，則這個類球面為長球面。例如，英式足球裏所用的橄欖球是長球形狀。
• 假若，這旋轉主軸是短軸，則這個類球面為扁球面。例如，地球在北極與南極稍微有點扁平，在赤道又有點凸漲。所以，地球是扁球形狀。
• 假若，生成的橢圓是圓圈，則這個類球面為完全對稱的圓球面。

方程式

 

对类球面半轴的赋值。如果c < a则为扁球面（左图）而如果c > a则为长球面（右图）。

用另外一種方法來描述，類球面是一種橢球面。採用直角坐標${\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!}$ ，橢球面可以表達為

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}$ ；

其中，${\displaystyle a\,\!}$ 與${\displaystyle b\,\!}$ 分別是橢球面在x-軸與y-軸的赤道半徑，${\displaystyle c\,\!}$ 是橢球面在z-軸的極半徑，這三個正值實數的半徑決定了橢球面的形狀。 以z-轴为旋转轴的类球面${\displaystyle a=b\,}$ ，它的方程为：

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$ 。

• 假若，三個半徑都相等，則這橢球面是圓球面：

${\displaystyle a=c\,\!}$ 。

• 假若，類球面的赤道半徑小於極半徑，則這是類球面是長球面：

${\displaystyle a<c\,\!}$ 。

• 假若，類球面的赤道半徑大於極半徑，則這是類球面是扁球面：

${\displaystyle a>c\,\!}$ 。

性质

面積

扁球面c < a，它的表面积为：

${\displaystyle S_{\rm {oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}{\text{artanh}}\,e\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {c^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right)\quad }$ 其中${\displaystyle \,e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$ 。

扁球面是半长轴为a而半短轴为c的椭圆围绕z-轴旋转而形成的，因此e可看作为离心率^[1]。

长球面c > a，它的表面积为：

${\displaystyle S_{\rm {prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin \,e\right)\qquad }$ 其中${\displaystyle \,e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}}$ 。

长球面是半长轴为c而半短轴为a的椭圆围绕z-轴旋转而形成的，因此e可看作离心率^[2]。

體積

類球的體積是${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi a^{2}c\,\!}$ 。

曲率

假若，一個類球面被參數化為

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\beta ,\ \lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,\ a\cos \beta \sin \lambda ,\ b\sin \beta )\,\!}$  ;

其中，${\displaystyle \beta \,\!}$ 是參數緯度（parametric latitude），${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\beta <{\frac {\pi }{2}}\,\!}$ ，${\displaystyle \lambda \,\!}$ 是經度，${\displaystyle -\pi <\lambda <+\pi \,\!}$ 。

那麼，類球面的高斯曲率（Gaussian curvature）是

${\displaystyle K(\beta ,\lambda )={b^{2} \over (a^{2}+(b^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta )^{2}}\,\!}$ 。

類球面的平均曲率（mean curvature）是

${\displaystyle H(\beta ,\lambda )={b(2a^{2}+(b^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta ) \over 2a(a^{2}+(b^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta )^{3/2}}\,\!}$ 。

對於類球面，這兩種曲率永遠是正值的。所以，類球面的每一點都是橢圓的。

參閱

• 皮埃爾·莫佩爾蒂
• 橢球體
• 卵形體（ovoid）
• 長球面坐標系
• 扁球面坐標系

引用

1. A derivation of this result may be found at Weisstein, Eric W. (编). Oblate Spheroid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [24 June 2014]. （原始内容于2018-01-24） （英语）. 
2. A derivation of this result may be found at Weisstein, Eric W. (编). Prolate Spheroid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [24 June 2014]. （原始内容于2019-10-21） （英语）.