Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 662. 引文格式1维护:冗余文本 (link) 採用、、。
Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 115. ISBN 0-86720-293-9. 引文格式1维护:冗余文本 (link) 如同Morse & Feshbach (1953),採用來替代。
Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968. 引文格式1维护:冗余文本 (link)
Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 98. 引文格式1维护:冗余文本 (link) 採用混合坐標、、。
按照命名常規
Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177. 引文格式1维护:冗余文本 (link)採用第一種表述,又加介紹了簡併的第三種表述。
Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 182. 引文格式1维护:冗余文本 (link) 如同Korn and Korn (1961),但採用餘緯度來替代緯度。
Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 31–34 (Table 1.07). ISBN 0-387-02732-7. 引文格式1维护:冗余文本 (link) Moon and Spencer採用餘緯度常規,又改名為。
特異命名常規
Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347. 引文格式1维护:冗余文本 (link)視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。
一月 30, 2023
扁球面坐標系, 英語, oblate, spheroidal, coordinates, 是一種三維正交坐標系, 設定二維橢圓坐標系包含於xz, 平面, 兩個焦點f, displaystyle, 與f, displaystyle, 的直角坐標分別為, displaystyle, displaystyle, 將橢圓坐標系繞著z, 軸旋轉, 則可以得到, 假若, 繞著y, 軸旋轉, 則可以得到長球面坐標系, 橢圓坐標系的兩個焦點, 變為一個半徑為a, displaystyle, 的圓圈, 包含於三維空間的xy, 平面,. 扁球面坐標系 英語 Oblate spheroidal coordinates 是一種三維正交坐標系 設定二維橢圓坐標系包含於xz 平面 兩個焦點F 1 displaystyle F 1 與F 2 displaystyle F 2 的直角坐標分別為 a 0 0 displaystyle a 0 0 與 a 0 0 displaystyle a 0 0 將橢圓坐標系繞著z 軸旋轉 則可以得到扁球面坐標系 假若 繞著y 軸旋轉 則可以得到長球面坐標系 橢圓坐標系的兩個焦點 變為一個半徑為a displaystyle a 的圓圈 包含於三維空間的xy 平面 稱這圓圈為焦圓 又稱為參考圓 扁球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例 其兩個最大的半軸的長度相同 圖1 扁球面坐標系的幾個坐標曲面 紅色扁球面的m 1 displaystyle mu 1 藍色半雙曲面的n 45 displaystyle nu 45 circ 黃色半平面的ϕ 60 displaystyle phi 60 circ 黃色半平面與xz 半平面之間的二面角角度是 60 displaystyle 60 circ z 軸是垂直的 以白色表示 x 軸以綠色表示 三個坐標曲面相交於點P 以黑色的圓球表示 直角坐標大約為 1 09 1 89 1 66 displaystyle 1 09 1 89 1 66 圖2 橢圓坐標系繪圖 横軸是x 軸 豎軸是z 軸 紅色橢圓 m displaystyle mu 等值線 變成上圖的紅色扁球面 m displaystyle mu 坐標曲面 而x gt 0 displaystyle x gt 0 青藍色雙曲線 n displaystyle nu 等值線 則變成藍色半雙曲面 n displaystyle nu 坐標曲面 當邊界條件涉及扁球面或旋轉雙曲面時 扁球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式 例如 關於佩蘭摩擦因子 Perrin friction factors 的計算 扁球面坐標扮演了極重要的角色 讓 佩蘭因此而榮獲1926年諾貝爾物理獎 佩蘭摩擦因子決定了分子的旋轉擴散 rotational diffusion 這程序又影響了許多科技 像蛋白質核磁共振光譜學 protein NMR 的可行性 應用這程序 我們可以推論分子的流體動力體積與形狀 扁球面坐標也時常用來解析電磁學 例如 扁球形帶電的分子的電容率 聲學 例如 聲音通過圓孔時產生的散射 流體動力學 水通過消防水帶的噴口 擴散理論 紅熱的錢幣在水裏的冷卻 等等方面的問題 目录 1 第一種表述 1 1 坐標曲面 1 2 逆變換 1 3 標度因子 2 第二種表述 2 1 標度因子 3 第三種表述 3 1 坐標曲面 3 2 標度因子 4 參閱 5 參考文獻 6 參考目錄 6 1 不按照命名常規 6 2 按照命名常規 6 3 特異命名常規第一種表述 编辑在三維空間裏 一個點P的扁球面坐標 m n ϕ displaystyle mu nu phi 常見的定義是 x a cosh m cos n cos ϕ displaystyle x a cosh mu cos nu cos phi y a cosh m cos n sin ϕ displaystyle y a cosh mu cos nu sin phi z a sinh m sin n displaystyle z a sinh mu sin nu 其中 m 0 displaystyle mu geq 0 是個實數 角度 90 n 90 displaystyle 90 circ leq nu leq 90 circ 角度 180 ϕ 180 displaystyle 180 circ leq phi leq 180 circ 學術界比較中意這一種扁球面坐標 因為沒有簡併 三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標 坐標曲面 编辑 m displaystyle mu 坐標曲面是扁球面 x 2 y 2 a 2 cosh 2 m z 2 a 2 sinh 2 m cos 2 n sin 2 n 1 displaystyle frac x 2 y 2 a 2 cosh 2 mu frac z 2 a 2 sinh 2 mu cos 2 nu sin 2 nu 1 它們是由橢圓繞著z 軸旋轉形成的 橢球面與xz 平面的相交 是一個的橢圓 沿著x 軸 長半軸長度為a cosh m displaystyle a cosh mu 沿著z 軸 短半軸長度為a sinh m displaystyle a sinh mu 橢圓的焦點都包含於x 軸 x 坐標分別為 a displaystyle pm a n displaystyle nu 坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面 x 2 y 2 a 2 cos 2 n z 2 a 2 sin 2 n cosh 2 m sinh 2 m 1 displaystyle frac x 2 y 2 a 2 cos 2 nu frac z 2 a 2 sin 2 nu cosh 2 mu sinh 2 mu 1 假若n displaystyle nu 是正值 z displaystyle z 也是正值 這半個單葉旋轉雙曲面在xy 平面以上 假若是負值 則在xy 平面以下 n displaystyle nu 是雙曲線的漸近線的角度 所有雙曲線的焦點都在x 軸 x 坐標分別為 a displaystyle pm a ϕ displaystyle phi 坐標曲面是個半平面 x sin ϕ y cos ϕ 0 displaystyle x sin phi y cos phi 0 逆變換 编辑 用直角坐標 x y z displaystyle x y z 來計算扁球面坐標 m n ϕ displaystyle mu nu phi 方位角ϕ displaystyle phi 的公式為 tan ϕ y x displaystyle tan phi frac y x 設定d 1 displaystyle d 1 與d 2 displaystyle d 2 分別為點P與焦圓的最遠距離與最近距離 以方程式表示為 d 1 2 x 2 y 2 a 2 z 2 displaystyle d 1 2 sqrt x 2 y 2 a 2 z 2 d 2 2 x 2 y 2 a 2 z 2 displaystyle d 2 2 sqrt x 2 y 2 a 2 z 2 坐標m displaystyle mu 和n displaystyle nu 的方程式分別為 cosh m d 1 d 2 2 a displaystyle cosh mu frac d 1 d 2 2a cos n d 1 d 2 2 a displaystyle cos nu frac d 1 d 2 2a 標度因子 编辑 扁球面坐標m displaystyle mu 與n displaystyle nu 的標度因子相等 h m h n a sinh 2 m sin 2 n displaystyle h mu h nu a sqrt sinh 2 mu sin 2 nu 方位角ϕ displaystyle phi 的標度因子為 h ϕ a cosh m cos n displaystyle h phi a cosh mu cos nu 無窮小體積元素是 d V a 3 cosh m cos n sinh 2 m sin 2 n d m d n d ϕ displaystyle dV a 3 cosh mu cos nu left sinh 2 mu sin 2 nu right d mu d nu d phi 拉普拉斯算子是 2 F 1 a 2 sinh 2 m sin 2 n 1 cosh m m cosh m F m 1 cos n n cos n F n 1 a 2 cosh 2 m cos 2 n 2 F ϕ 2 displaystyle nabla 2 Phi frac 1 a 2 left sinh 2 mu sin 2 nu right left frac 1 cosh mu frac partial partial mu left cosh mu frac partial Phi partial mu right frac 1 cos nu frac partial partial nu left cos nu frac partial Phi partial nu right right frac 1 a 2 left cosh 2 mu cos 2 nu right frac partial 2 Phi partial phi 2 其它微分算子 像 F displaystyle nabla cdot mathbf F F displaystyle nabla times mathbf F 都可以用 m n ϕ displaystyle mu nu phi 坐標表示 只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式 第二種表述 编辑另外有一組有時會用到的扁球面坐標 z 3 ϕ displaystyle zeta xi phi 其中 z sinh m displaystyle zeta sinh mu 3 sin n displaystyle xi sin nu 1 z displaystyle zeta 坐標曲面是個扁球面 3 displaystyle xi 坐標曲面是個旋轉雙曲面 從直角坐標變換至扁球面坐標 x a 1 z 2 1 3 2 cos ϕ displaystyle x a sqrt 1 zeta 2 1 xi 2 cos phi y a 1 z 2 1 3 2 sin ϕ displaystyle y a sqrt 1 zeta 2 1 xi 2 sin phi z a z 3 displaystyle z a zeta xi 其中 實數0 z lt displaystyle 0 leq zeta lt infty 實數 1 3 lt 1 displaystyle 1 leq xi lt 1 角度 180 ϕ 180 displaystyle 180 circ leq phi leq 180 circ 標度因子 编辑 扁球面坐標 z 3 ϕ displaystyle zeta xi phi 的標度因子分別為 h z a z 2 3 2 1 z 2 displaystyle h zeta a sqrt frac zeta 2 xi 2 1 zeta 2 h 3 a z 2 3 2 1 3 2 displaystyle h xi a sqrt frac zeta 2 xi 2 1 xi 2 h ϕ a 1 z 2 1 3 2 displaystyle h phi a sqrt 1 zeta 2 1 xi 2 無窮小體積元素是 d V a 3 z 2 3 2 d z d 3 d ϕ displaystyle dV a 3 zeta 2 xi 2 d zeta d xi d phi 拉普拉斯算子是 2 V 1 a 2 z 2 3 2 z 1 z 2 V z 3 1 3 2 V 3 1 a 2 1 z 2 1 3 2 2 V ϕ 2 displaystyle nabla 2 V frac 1 a 2 left zeta 2 xi 2 right left frac partial partial zeta left left 1 zeta 2 right frac partial V partial zeta right frac partial partial xi left left 1 xi 2 right frac partial V partial xi right right frac 1 a 2 left 1 zeta 2 right left 1 xi 2 right frac partial 2 V partial phi 2 第三種表述 编辑 圖3 第三種扁球面坐標系 s t ϕ displaystyle sigma tau phi 的三個坐標曲面 紅色扁球面是s displaystyle sigma 坐標曲面 藍色單葉雙曲面是t displaystyle tau 坐標曲面 黃色半平面是ϕ displaystyle phi 坐標曲面 黃色半平面與xz 半平面之間的二面角角度是ϕ displaystyle phi z 軸是垂直的 以白色表示 x 軸以綠色表示 第三種扁球面坐標系有雙重簡併 這可以從三個坐標曲面的兩個相交點P1 P2 以黑色的圓球表示 觀察到 另外 還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 s t ϕ displaystyle sigma tau phi 2 s cosh m displaystyle sigma cosh mu t cos n displaystyle tau cos nu ϕ ϕ displaystyle phi phi 坐標s displaystyle sigma 必須大於或等於1 坐標t displaystyle tau 必須在正負1之間 s displaystyle sigma 坐標曲面是扁球面 t displaystyle tau 坐標曲面是單葉雙曲面 包含了對應於正負n displaystyle nu 的半雙曲面 第三種坐標有雙重簡併 三維空間的兩點 直角坐標 x y z displaystyle x y pm z 映射至一組扁球面坐標系 s t ϕ displaystyle sigma tau phi 這雙重簡併可以從直角坐標變換至扁球面坐標的公式觀察到 x a s t cos ϕ displaystyle x a sigma tau cos phi y a s t sin ϕ displaystyle y a sigma tau sin phi z 2 a 2 s 2 1 1 t 2 displaystyle z 2 a 2 left sigma 2 1 right left 1 tau 2 right 坐標s displaystyle sigma 與t displaystyle tau 有一個簡單的公式來表達任何一點P與焦圓的最遠距離d 1 displaystyle d 1 最近距離d 2 displaystyle d 2 d 1 d 2 2 a s displaystyle d 1 d 2 2a sigma d 1 d 2 2 a t displaystyle d 1 d 2 2a tau 所以 點P與焦圓的最遠距離是a s t displaystyle a sigma tau 點P與焦圓的最近距離是a s t displaystyle a sigma tau 坐標曲面 编辑 s displaystyle sigma 坐標曲面是扁球面 x 2 y 2 a 2 s 2 z 2 a 2 s 2 1 1 displaystyle frac x 2 y 2 a 2 sigma 2 frac z 2 a 2 left sigma 2 1 right 1 t displaystyle tau 坐標曲面是單葉旋轉雙曲面 x 2 y 2 a 2 t 2 z 2 a 2 1 t 2 1 displaystyle frac x 2 y 2 a 2 tau 2 frac z 2 a 2 left 1 tau 2 right 1 ϕ displaystyle phi 坐標曲面是半個平面 x sin ϕ y cos ϕ 0 displaystyle x sin phi y cos phi 0 標度因子 编辑 扁球面坐標 s t ϕ displaystyle sigma tau phi 的標度因子分別為 h s a s 2 t 2 s 2 1 displaystyle h sigma a sqrt frac sigma 2 tau 2 sigma 2 1 h t a s 2 t 2 1 t 2 displaystyle h tau a sqrt frac sigma 2 tau 2 1 tau 2 h ϕ a s t displaystyle h phi a sigma tau 無窮小體積元素是 d V a 3 s t s 2 t 2 s 2 1 1 t 2 d s d t d ϕ displaystyle dV a 3 sigma tau frac sigma 2 tau 2 sqrt left sigma 2 1 right left 1 tau 2 right d sigma d tau d phi 拉普拉斯算子是 2 F 1 a 2 s 2 t 2 s s 2 1 F s t 1 t 2 F t 1 a 2 s 2 1 1 t 2 2 F ϕ 2 displaystyle nabla 2 Phi frac 1 a 2 left sigma 2 tau 2 right left frac partial partial sigma left left sigma 2 1 right frac partial Phi partial sigma right frac partial partial tau left left 1 tau 2 right frac partial Phi partial tau right right frac 1 a 2 left sigma 2 1 right left 1 tau 2 right frac partial 2 Phi partial phi 2 其它微分算子 像 F displaystyle nabla cdot mathbf F F displaystyle nabla times mathbf F 都可以用 s t z displaystyle sigma tau z 坐標表示 只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式 如同球坐標解答的形式為球諧函數 拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解 得到形式為扁球諧函數的答案 假若 邊界條件涉及扁球面 我們可以優先選擇這方法來解析 參閱 编辑參考文獻 编辑 Smythe 1968 Abramowitz and Stegun p 752 參考目錄 编辑不按照命名常規 编辑 Morse PM Feshbach H Methods of Theoretical Physics Part I New York McGraw Hill 1953 p 662 引文格式1维护 冗余文本 link 採用3 1 a sinh m displaystyle xi 1 a sinh mu 3 2 sin n displaystyle xi 2 sin nu 3 3 cos ϕ displaystyle xi 3 cos phi Zwillinger D Handbook of Integration Boston MA Jones and Bartlett 1992 p 115 ISBN 0 86720 293 9 引文格式1维护 冗余文本 link 如同Morse amp Feshbach 1953 採用u k displaystyle u k 來替代3 k displaystyle xi k Smythe WR Static and Dynamic Electricity 3rd ed New York McGraw Hill 1968 引文格式1维护 冗余文本 link Sauer R Szabo I Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs New York Springer Verlag 1967 p 98 引文格式1维护 冗余文本 link 採用混合坐標3 a sinh m displaystyle xi a sinh mu h sin n displaystyle eta sin nu ϕ ϕ displaystyle phi phi 按照命名常規 编辑 Korn GA Korn TM Mathematical Handbook for Scientists and Engineers New York McGraw Hill 1961 p 177 引文格式1维护 冗余文本 link 採用第一種表述 m n ϕ displaystyle mu nu phi 又加介紹了簡併的第三種表述 s t ϕ displaystyle sigma tau phi Margenau H Murphy GM The Mathematics of Physics and Chemistry New York D van Nostrand 1956 p 182 引文格式1维护 冗余文本 link 如同Korn and Korn 1961 但採用餘緯度8 90 n displaystyle theta 90 circ nu 來替代緯度n displaystyle nu Moon PH Spencer DE Oblate spheroidal coordinates h 8 ps Field Theory Handbook Including Coordinate Systems Differential Equations and Their Solutions corrected 2nd ed 3rd print ed New York Springer Verlag 1988 pp 31 34 Table 1 07 ISBN 0 387 02732 7 引文格式1维护 冗余文本 link Moon and Spencer採用餘緯度常規8 90 n displaystyle theta 90 circ nu 又改名ϕ displaystyle phi 為ps displaystyle psi 特異命名常規 编辑 Landau LD Lifshitz EM Pitaevskii LP Electrodynamics of Continuous Media Volume 8 of the Course of Theoretical Physics 2nd edition New York Pergamon Press 1984 pp 19 29 ISBN 978 0750626347 引文格式1维护 冗余文本 link 視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限 採用第二種表述 取自 https zh wikipedia org w index php title 扁球面坐標系 amp oldid 45761222, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,