Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 657. ISBN 0-07-043316-X. 引文格式1维护:冗余文本 (link)
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Korn GA. Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 179. 引文格式1维护:冗余文本 (link)
四月 08, 2024
橢圓坐標系, 英語, elliptic, coordinate, system, 是一種二維正交坐標系, 其坐標曲線是共焦的橢圓與雙曲線, 的兩個焦點, displaystyle, displaystyle, 的直角坐標, displaystyle, 通常分別設定為, displaystyle, displaystyle, 都處於直角坐標系的, 目录, 基本定義, 標度因子, 第二種定義, 第二種標度因子, 外推至更高維數, 應用, 參閱, 參考文獻基本定義, 编辑橢圓坐標, displaystyle, nbsp,. 橢圓坐標系 英語 Elliptic coordinate system 是一種二維正交坐標系 其坐標曲線是共焦的橢圓與雙曲線 橢圓坐標系的兩個焦點 F1 displaystyle F 1 與 F2 displaystyle F 2 的直角坐標 x y displaystyle x y 通常分別設定為 a 0 displaystyle a 0 與 a 0 displaystyle a 0 都處於直角坐標系的 x 軸 橢圓坐標系 目录 1 基本定義 2 標度因子 3 第二種定義 4 第二種標度因子 5 外推至更高維數 6 應用 7 參閱 8 參考文獻基本定義 编辑橢圓坐標 m n displaystyle mu nu nbsp 最常見的定義是 x a cosh m cos n displaystyle x a cosh mu cos nu nbsp y a sinh m sin n displaystyle y a sinh mu sin nu nbsp 其中 m 0 displaystyle mu geq 0 nbsp 為非負值實數 n 0 2p displaystyle nu in 0 2 pi nbsp 在複值平面 等價關係式為 x iy a cosh m in displaystyle x iy a cosh mu i nu nbsp 以下兩個三角恆等式 x2a2cosh2 m y2a2sinh2 m cos2 n sin2 n 1 displaystyle frac x 2 a 2 cosh 2 mu frac y 2 a 2 sinh 2 mu cos 2 nu sin 2 nu 1 nbsp x2a2cos2 n y2a2sin2 n cosh2 m sinh2 m 1 displaystyle frac x 2 a 2 cos 2 nu frac y 2 a 2 sin 2 nu cosh 2 mu sinh 2 mu 1 nbsp 表明 m displaystyle mu nbsp 的等值曲線形成橢圓 而 n displaystyle nu nbsp 的等值曲線則形成雙曲線 標度因子 编辑橢圓坐標 m displaystyle mu nbsp 與 n displaystyle nu nbsp 的標度因子相等 hm hn asinh2 m sin2 n displaystyle h mu h nu a sqrt sinh 2 mu sin 2 nu nbsp 為了簡化標度因子的計算 可以用二倍角公式來等價地表達為 hm hn a12 cosh 2m cos 2n displaystyle h mu h nu a sqrt frac 1 2 cosh 2 mu cos 2 nu nbsp 無窮小面積元素等於 dA a2 sinh2 m sin2 n dmdn displaystyle dA a 2 left sinh 2 mu sin 2 nu right d mu d nu nbsp 拉普拉斯算子是 2F 1a2 sinh2 m sin2 n 2F m2 2F n2 displaystyle nabla 2 Phi frac 1 a 2 left sinh 2 mu sin 2 nu right left frac partial 2 Phi partial mu 2 frac partial 2 Phi partial nu 2 right nbsp 其它微分算子 例如 F displaystyle nabla cdot mathbf F nbsp 與 F displaystyle nabla times mathbf F nbsp 都可以用橢圓坐標表達 只需要將標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式 第二種定義 编辑另外有一種在直覺上比較賦有幾何性的橢圓坐標 s t displaystyle sigma tau nbsp 其中 s cosh m displaystyle sigma cosh mu nbsp t cos n displaystyle tau cos nu nbsp 同樣地 s displaystyle sigma nbsp 的等值曲線是橢圓 而 t displaystyle tau nbsp 的等值曲線是雙曲線 在這裏 t displaystyle tau nbsp 必須屬於區間 1 1 displaystyle 1 1 nbsp 而 s displaystyle sigma nbsp 必須大於或等於 1 displaystyle 1 nbsp 使用橢圓坐標 任何在 xy 平面上的點 s t displaystyle sigma tau nbsp 其與兩個焦點的距離 d1 displaystyle d 1 nbsp d2 displaystyle d 2 nbsp 有一個很簡單的關係 回想兩個焦點 F1 displaystyle F 1 nbsp 與 F2 displaystyle F 2 nbsp 的坐標分別為 a 0 displaystyle a 0 nbsp 與 a 0 displaystyle a 0 nbsp d1 d2 2as displaystyle d 1 d 2 2a sigma nbsp d1 d2 2at displaystyle d 1 d 2 2a tau nbsp 或者 d1 a s t displaystyle d 1 a sigma tau nbsp d2 a s t displaystyle d 2 a sigma tau nbsp 第二種橢圓坐標有一個缺點 那就是它與直角坐標並不保持一一對應關係 x ast displaystyle x a sigma tau nbsp y2 a2 s2 1 1 t2 displaystyle y 2 a 2 left sigma 2 1 right left 1 tau 2 right nbsp 第二種標度因子 编辑第二種橢圓坐標 s t displaystyle sigma tau nbsp 的標度因子是 hs as2 t2s2 1 displaystyle h sigma a sqrt frac sigma 2 tau 2 sigma 2 1 nbsp ht as2 t21 t2 displaystyle h tau a sqrt frac sigma 2 tau 2 1 tau 2 nbsp 所以 無窮小面積元素等於 dA a2s2 t2 s2 1 1 t2 dsdt displaystyle dA a 2 frac sigma 2 tau 2 sqrt left sigma 2 1 right left 1 tau 2 right d sigma d tau nbsp 拉普拉斯算子是 2F 1a2 s2 t2 s2 1 s s2 1 F s 1 t2 t 1 t2 F t displaystyle nabla 2 Phi frac 1 a 2 left sigma 2 tau 2 right left sqrt sigma 2 1 frac partial partial sigma left sqrt sigma 2 1 frac partial Phi partial sigma right sqrt 1 tau 2 frac partial partial tau left sqrt 1 tau 2 frac partial Phi partial tau right right nbsp 其它微分算子 例如 F displaystyle nabla cdot mathbf F nbsp 與 F displaystyle nabla times mathbf F nbsp 都可以用第二種橢圓坐標表達 只需要將第二種標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式 外推至更高維數 编辑橢圓坐標系是幾種三維正交坐標系的基礎 將橢圓坐標系往 z 軸方向投射 則可以得到橢圓柱坐標系 將橢圓坐標系繞著 x 軸旋轉 就可以得到長球面坐標系 而繞著 y 軸旋轉 又可以得到扁球面坐標系 在這裏 x 軸是連接兩個焦點的直軸 y 軸是在兩個焦點中間的直軸 應用 编辑橢圓坐標最經典的用法是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式 在這些方程式裏 橢圓坐標允許分離變數法的使用 擧一個典型的例題 有一塊寬度為 2a displaystyle 2a nbsp 的平板導體 請問其周圍的電場為什麼 應用橢圓坐標 我們可以精緻地解析這例題 參閱 编辑拉普拉斯 龍格 冷次向量參考文獻 编辑 nbsp 数学主题 Morse PM Feshbach H Methods of Theoretical Physics Part I New York McGraw Hill 1953 p 657 ISBN 0 07 043316 X 引文格式1维护 冗余文本 link Margenau H Murphy GM The Mathematics of Physics and Chemistry New York D van Nostrand 1956 pp 182 183 引文格式1维护 冗余文本 link Korn GA Korn TM Mathematical Handbook for Scientists and Engineers New York McGraw Hill 1961 p 179 引文格式1维护 冗余文本 link 取自 https zh wikipedia org w index php title 橢圓坐標系 amp oldid 63534676, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,