三角恒等式

在数学中，三角恒等式是对出现的所有值都为實变量，涉及到三角函数的等式。这些恒等式在表达式中有些三角函数需要简化的时候是很有用的。一个重要应用是非三角函数的积分：一个常用技巧是首先使用使用三角函数的代换规则，则通过三角恒等式可简化结果的积分。

在几何上依据以O为中心的单位圆可以构造角θ的很多三角函数

三角函數示意圖

幾個三角函數的圖形，分別為正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割和正矢。配色與上圖相同

单位圆的角度

符号

为了避免由于${\displaystyle \sin ^{-1}x}$ 的不同意思所带来的混淆，我們經常用下列兩個表格來表示三角函数的倒数和反函数。另外在表示余割函数時，'${\displaystyle \csc }$ '有时會寫成比較长的'${\displaystyle \mathrm {cocsc} }$ '。

函数			反函數			倒数
中文	全寫	簡寫	中文	全寫	簡寫	中文	全寫	簡寫
正弦	sine	sin	反正弦	arcsine	arcsin	餘割	cosecant	csc
餘弦	cosine	cos	反餘弦	arccosine	arccos	正割	secant	sec
正切	tangent	tan	反正切	arctangent	arctan	餘切	cotangent	cot
餘切	cotangent	cot	反餘切	arccotangent	arccot	正切	tangent	tan
正割	secant	sec	反正割	arcsecant	arcsec	餘弦	cosine	cos
餘割	cosecant	csc	反餘割	arccosecant	arccsc	正弦	sine	sin

不同的角度度量适合于不同的情况。本表展示最常用的系统。弧度是缺省的角度量并用在指数函数中。所有角度度量都是无单位的。另外在計算機中角度的符號為D，弧度的符號為R，梯度的符號為G。

相同角度的轉換表

角度單位	值								計算機中代號
轉	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$	${\displaystyle 1}$	無
角度	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle 360^{\circ }}$	D
弧度	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 2\pi }$	R
梯度	${\displaystyle 0^{g}}$	${\displaystyle 33{\frac {1}{3}}^{g}}$	${\displaystyle 50^{g}}$	${\displaystyle 66{\frac {2}{3}}^{g}}$	${\displaystyle 100^{g}}$	${\displaystyle 200^{g}}$	${\displaystyle 300^{g}}$	${\displaystyle 400^{g}}$	G

基本關係

 

三角函數間的關係

畢達哥拉斯三角恒等式如下：

${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}$

${\displaystyle \tan ^{2}\theta +1\,=\sec ^{2}\theta }$

${\displaystyle 1\,+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta }$

由上面的平方關係加上三角函數的基本定義，可以導出下面的表格，即每個三角函數都可以用其他五個表達。（严谨地说，所有根号前都应根据实际情况添加正负号）

函數	${\displaystyle \sin }$	${\displaystyle \cos }$	${\displaystyle \tan }$	${\displaystyle \cot }$	${\displaystyle \sec }$	${\displaystyle \csc }$
${\displaystyle \sin \theta }$	${\displaystyle \sin \theta \ }$	${\displaystyle {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}}$
${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \cos \theta \ }$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}}$
${\displaystyle \tan \theta }$	${\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \tan \theta \ }$	${\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}}$	${\displaystyle {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$
${\displaystyle \cot \theta }$	${\displaystyle {{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }} \over \sin \theta }}$	${\displaystyle {\cos \theta \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {1 \over \tan \theta }}$	${\displaystyle \cot \theta \ }$	${\displaystyle {1 \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$
${\displaystyle \sec \theta }$	${\displaystyle {1 \over {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {1 \over \cos \theta }}$	${\displaystyle {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle {{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }} \over \cot \theta }}$	${\displaystyle \sec \theta \ }$	${\displaystyle {\csc \theta \over {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$
${\displaystyle \csc \theta }$	${\displaystyle {1 \over \sin \theta }}$	${\displaystyle {1 \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }} \over \tan \theta }}$	${\displaystyle {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle {\sec \theta \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \csc \theta \ }$

其他函數的基本關係

正矢、餘矢、半正矢、半餘矢、外正割用於航行。例如半正矢可以計算球體上的兩個點之間的距離，但它們不常用。

名稱	函數	值^[1]
正矢, versine	${\displaystyle \operatorname {versin} \theta }$  ${\displaystyle \operatorname {vers} \theta }$  ${\displaystyle \operatorname {ver} \theta }$	${\displaystyle 1-\cos \theta }$
餘的正矢, vercosine	${\displaystyle \operatorname {vercosin} \theta }$	${\displaystyle 1+\cos \theta }$
餘矢, coversine	${\displaystyle \operatorname {coversin} \theta }$  ${\displaystyle \operatorname {cvs} \theta }$	${\displaystyle 1-\sin \theta }$
餘的餘矢, covercosine	${\displaystyle \operatorname {covercosin} \theta }$	${\displaystyle 1+\sin \theta }$
半正矢, haversine	${\displaystyle \operatorname {haversin} \theta }$	${\displaystyle {\frac {1-\cos \theta }{2}}}$
餘的半正矢, havercosine	${\displaystyle \operatorname {havercosin} \theta }$	${\displaystyle {\frac {1+\cos \theta }{2}}}$
半餘矢, hacoversine cohaversine	${\displaystyle \operatorname {hacoversin} \theta }$	${\displaystyle {\frac {1-\sin \theta }{2}}}$
餘的半餘矢, hacovercosine cohavercosine	${\displaystyle \operatorname {hacovercosin} \theta }$	${\displaystyle {\frac {1+\sin \theta }{2}}}$
外正割，exsecant	${\displaystyle \operatorname {exsec} \theta }$	${\displaystyle \sec \theta -1}$
外餘割，excosecant	${\displaystyle \operatorname {excsc} \theta }$	${\displaystyle \csc \theta -1}$
弦, chord	${\displaystyle \operatorname {crd} \theta }$	${\displaystyle 2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}$
純虛數指數函數, cosine and imaginary unit sine	${\displaystyle \operatorname {cis} \theta }$	${\displaystyle \cos \theta +i\;\sin \theta }$
輻角,Argument	${\displaystyle \arg x}$	${\displaystyle \operatorname {Im} (\ln x)}$

对称、移位和周期

更多信息：诱导公式

通过检视单位圆，可确立三角函数的下列性质：

对称

当三角函数反射自某个特定的${\displaystyle \theta }$ 值，结果经常是另一个其他三角函数。这导致了下列恒等式：

反射于${\displaystyle \theta =0}$	反射于${\displaystyle \theta ={\tfrac {\pi }{4}}}$	反射于${\displaystyle \theta ={\tfrac {\pi }{2}}}$	反射于${\displaystyle \theta ={\tfrac {3\pi }{4}}}$
${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(0-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(0-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(0-\theta )&=-\tan \theta \\\cot(0-\theta )&=-\cot \theta \\\sec(0-\theta )&=+\sec \theta \\\csc(0-\theta )&=-\csc \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sin \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\csc \theta \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sec \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=+\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\sec(\pi -\theta )&=-\sec \theta \\\csc(\pi -\theta )&=+\csc \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta )&=-\cos \theta \\\cos({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta )&=-\sin \theta \\\tan({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\cot({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \\\sec({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta )&=-\csc \theta \\\csc({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta )&=-\sec \theta \end{aligned}}}$

移位和周期

通过旋转特定角度移位三角函数，经常可以找到更简单的表达结果的不同的三角函数。例如通过旋转${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$ 、${\displaystyle \pi }$ 和${\displaystyle 2\pi }$ 弧度移位函数。因为这些函数的周期要么是${\displaystyle \pi }$ 要么是${\displaystyle 2\pi }$ ，新函数和没有移位的旧函数完全一样。

移位${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$	移位${\displaystyle \pi }$	移位${\displaystyle {\tfrac {3\pi }{2}}}$	移位${\displaystyle 2\pi }$
	${\displaystyle \tan }$ 和${\displaystyle \cot }$ 的周期		${\displaystyle \sin }$ , ${\displaystyle \cos }$ , ${\displaystyle \csc }$ 和${\displaystyle \sec }$ 的周期
${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {3\pi }{2}})&=-\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {3\pi }{2}})&=+\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {3\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {3\pi }{2}})&=-\tan \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {3\pi }{2}})&=+\csc \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {3\pi }{2}})&=-\sec \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \end{aligned}}}$

角的和差恒等式

 

正弦與餘弦的角和公式的圖形證明法。使用了相似三角形的性質與三角函數的定義，強調的線段是單位長度

 

正切的角和公式的圖形證明法。使用了相似三角形的性質與三角函數的定義，強調的線段是單位長度。

它们也叫做“和差定理”、“和差公式”或“和角公式”。最快速簡要的檢定方式是使用欧拉公式^{[註 1]}。

正弦	${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \,}$
余弦	${\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,}$
正切	${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}}$
余切	${\displaystyle \cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}}$
正割	${\displaystyle \sec(\alpha \pm \beta )={\frac {\sec \alpha \sec \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}}$
余割	${\displaystyle \csc(\alpha \pm \beta )={\frac {\csc \alpha \csc \beta }{\cot \beta \pm \cot \alpha }}}$
注意正负号的对应。 ${\displaystyle {\begin{aligned}x\pm y=a\pm b&\Rightarrow \ x+y=a+b\\&{\mbox{and}}\ x-y=a-b\end{aligned}}}$  ${\displaystyle {\begin{aligned}x\pm y=a\mp b&\Rightarrow \ x+y=a-b\\&{\mbox{and}}\ x-y=a+b\end{aligned}}}$

正弦与余弦的无限多项和

${\displaystyle \sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{\mathrm {odd} \ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{|A|=k}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)}$ 

${\displaystyle \cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{\mathrm {even} \ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{|A|=k}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)}$ 

这里的"${\displaystyle |A|=k}$ "意味着索引${\displaystyle A}$ 遍历集合${\displaystyle \left\{1,2,3,\ldots \right\}}$ 的大小为${\displaystyle k}$ 的所有子集的集合。

在这两个恒等式中出现了在有限多项中不出现的不对称：在每个乘积中，只有有限多个正弦因子和餘有限多个余弦因子。

如果只有有限多项${\displaystyle \theta _{i}}$ 是非零，则在右边只有有限多项是非零，因为正弦因子将变为零，而在每个项中，所有却有限多的余弦因子将是单位一。

正切的有限多项和

设${\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i}}$ ，对于${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ 。设${\displaystyle e_{k}}$ 是变量${\displaystyle x_{i}}$ ，${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ，${\displaystyle k=0,\ldots ,n}$ 的${\displaystyle k}$ 次基本对称多项式。则

${\displaystyle \tan(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }},}$ 

项的数目依赖于${\displaystyle n}$ 。例如，

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\\\&{}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}$ 

并以此类推。一般情况可通过数学归纳法证明。

多倍角公式

${\displaystyle T_{n}}$ 是${\displaystyle n}$ 次切比雪夫多项式	${\displaystyle \cos n\theta =T_{n}\cos \theta \,}$
${\displaystyle S_{n}}$ 是${\displaystyle n}$ 次伸展多项式	${\displaystyle \sin ^{2}n\theta =S_{n}\sin ^{2}\theta \,}$
棣莫弗定理，${\displaystyle i}$ 是虚单位	${\displaystyle \cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}\,}$

${\displaystyle 1+2\cos x+2\cos 2x+2\cos 3x+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left[\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right]}{\sin {\frac {x}{2}}}}}$ 。

（這個${\displaystyle x}$ 的函數是狄利克雷核。）

雙倍角、三倍角和半角公式

這些公式可以使用和差恒等式或多倍角公式来证明。

		弦	切	割
雙倍角公式	正	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2\theta &=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\tan 2\theta &={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\ \\&={\frac {1}{1-\tan \theta }}-{\frac {1}{1+\tan \theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sec 2\theta &={\frac {\sec ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\\&={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}\end{aligned}}}$
	餘	${\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2\theta &=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\cot 2\theta &={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}\\&={\frac {\cot \theta -\tan \theta }{2}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\csc 2\theta &={\frac {\csc ^{2}\theta }{2\cot \theta }}\\&={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}\end{aligned}}}$
降次公式	正	${\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}}$	${\displaystyle \tan ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{1+\cos 2\theta }}}$
	餘	${\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}}$	${\displaystyle \cot ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{1-\cos 2\theta }}}$
三倍角公式	正	${\displaystyle \sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \,}$	${\displaystyle \tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \sec 3\theta ={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}}$
	餘	${\displaystyle \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \,}$	${\displaystyle \cot 3\theta ={\frac {\cot ^{3}\theta -3\cot \theta }{3\cot ^{2}\theta -1}}}$	${\displaystyle \csc 3\theta ={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}}$
半角公式	正	${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\&={\frac {\cos \theta +\sin \theta -1}{\cos \theta -\sin \theta +1}}\\&={\sqrt {\cot ^{2}\theta +1}}-\cot \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle \sec {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {2\sec \theta }{\sec \theta +1}}}}$
	餘	${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\\&={\frac {\cos \theta -\sin \theta +1}{\cos \theta +\sin \theta -1}}\\&={\sqrt {\cot ^{2}\theta +1}}+\cot \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle \csc {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {2\sec \theta }{\sec \theta -1}}}}$

n倍角公式

${\displaystyle n}$ 倍角公式
${\displaystyle \sin n\theta =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\sin \left[{\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right]=\sin \theta \sum _{k=0}^{\lfloor {\frac {n-1}{2}}\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-1-k}{k}}~(2\cos \theta )^{n-1-2k}}$  （第二类切比雪夫多项式）
${\displaystyle \cos n\theta =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\cos \left[{\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right]={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }(-1)^{k}{\frac {n}{n-k}}{\binom {n-k}{k}}~(2\cos \theta )^{n-2k}}$  （第一类切比雪夫多项式）
${\displaystyle \tan n\theta ={\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}(-1)^{k+1}{\binom {n}{2k-1}}\tan ^{2k-1}\theta }{\displaystyle \sum _{k=1}^{\left[{\frac {n+1}{2}}\right]}(-1)^{k+1}{\binom {n}{2(k-1)}}\tan ^{2(k-1)}\theta }}}$
${\displaystyle n}$ 倍遞迴公式
${\displaystyle \tan \,n\theta ={\frac {\tan(n{-}1)\theta +\tan \theta }{1-\tan(n{-}1)\theta \,\tan \theta }}}$ 、${\displaystyle \cot \,n\theta ={\frac {\cot(n{-}1)\theta \,\cot \theta -1}{\cot(n{-}1)\theta +\cot \theta }}}$ 。(遞迴關係)

参见正切半角公式，它也叫做“万能公式”。

其他函數的倍半角公式

正矢

• ${\displaystyle \operatorname {versin} 2\theta =2\sin ^{2}\theta ={\frac {(\sin 2\theta )(\sin \theta )}{\cos \theta }}=1-\cos 2\theta }$ 

餘矢

• ${\displaystyle \operatorname {cvs} 2\theta =(\sin \theta -\cos \theta )^{2}=1-\sin 2\theta }$ 

幂简约公式

从解余弦二倍角公式的第二和第三版本得到。

正弦	餘弦	其他
${\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}}$	${\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}}$	${\displaystyle \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 4\theta }{8}}}$
${\displaystyle \sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin 3\theta }{4}}}$	${\displaystyle \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}}$	${\displaystyle \sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin 2\theta -\sin 6\theta }{32}}}$
${\displaystyle \sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}}$	${\displaystyle \cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}}$	${\displaystyle \sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 4\theta +\cos 8\theta }{128}}}$
${\displaystyle \sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin 3\theta +\sin 5\theta }{16}}}$	${\displaystyle \cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}}}$	${\displaystyle \sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin 2\theta -5\sin 6\theta +\sin 10\theta }{512}}}$

	餘弦	正弦
如果${\displaystyle n}$ 是奇數	${\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {[(n-2k)\theta ]}}$	${\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {[(n-2k)\theta ]}}$
如果${\displaystyle n}$ 是偶數	${\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {[(n-2k)\theta ]}}$	${\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {[(n-2k)\theta ]}}$

数值连乘

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\cos 2^{k}\theta ={\frac {\sin 2^{n}\theta }{2^{n}\sin \theta }}}$ ^[2]

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(x+{\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {\sin nx}{2^{n-1}}}}$ ^[2]

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}}$ ,${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{2n}}\right)={\frac {\sqrt {n}}{2^{n-1}}}}$ ,${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {k\pi }{2n+1}}\right)={\frac {\sqrt {2n+1}}{2^{n}}}}$ 

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {\sin {\frac {n\pi }{2}}}{2^{n-1}}}}$ ,${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos \left({\frac {k\pi }{2n}}\right)={\frac {\sqrt {n}}{2^{n-1}}}}$ ,${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {k\pi }{2n+1}}\right)={\frac {1}{2^{n}}}}$ 

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\tan \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{\sin {\frac {n\pi }{2}}}}}$ ,${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\tan \left({\frac {k\pi }{2n}}\right)=1}$ ,${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\tan {\frac {k\pi }{2n+1}}={\sqrt {2n+1}}}$ 

常見的恆等式

积化和差与和差化积恆等式

數學家韋達在其三角學著作《應用於三角形的數學定律》給出积化和差与和差化积恒等式。积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

 

积化和差	和差化积
${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ) \over 2}}$	${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$
${\displaystyle \cos \alpha \sin \beta ={\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta ) \over 2}}$	${\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}}$
${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ) \over 2}}$	${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$
${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta ) \over 2}}$	${\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}}$

平方差公式

${\displaystyle \sin(x+y)\sin(x-y)=\sin ^{2}{x}-\sin ^{2}{y}=\cos ^{2}{y}-\cos ^{2}{x}\,}$ 

${\displaystyle \cos(x+y)\cos(x-y)=\cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{y}=\cos ^{2}{y}-\sin ^{2}{x}\,}$ 

(可藉由積化和差公式+2倍角公式推導而來)

其他恆等式

如果${\displaystyle x+y+z=n\pi }$ ，

那么${\displaystyle \tan x+\tan y+\tan z=\tan x\tan y\tan z}$ 

${\displaystyle \cot x\cot y+\cot y\cot z+\cot z\cot x=1}$ 

如果${\displaystyle x+y+z=n\pi +{\frac {\pi }{2}}}$ ，

那么${\displaystyle \tan x\tan y+\tan y\tan z+\tan z\tan x=1}$ 

${\displaystyle \cot x+\cot y+\cot z=\cot x\cot y\cot z}$ 

如果${\displaystyle x+y+z=\pi }$ ，

那么${\displaystyle \sin 2x+\sin 2y+\sin 2z=4\sin x\sin y\sin z}$ 

${\displaystyle \sin x+\sin y+\sin z=4\cos {\frac {x}{2}}\cos {\frac {y}{2}}\cos {\frac {z}{2}}}$ 

${\displaystyle \cos x+\cos y+\cos z=1+4\sin {\frac {x}{2}}\sin {\frac {y}{2}}\sin {\frac {z}{2}}}$ 

托勒密定理

如果${\displaystyle w+x+y+z=\pi }$ （半圆）

那么:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(w+x)\sin(x+y)&=\sin(x+y)\sin(y+z)\\&=\sin(y+z)\sin(z+w)\\&{}=\sin(z+w)\sin(w+x)\\&{}=\sin w\sin y+\sin x\sin z\end{aligned}}}$ 

（前三个等式是一般情况；第四个是本质。）

三角函數與雙曲函數的恆等式

利用三角恒等式的指數定義和雙曲函數的指數定義即可求出下列恆等式：

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\;\sin x,\;e^{-ix}=\cos x-i\;\sin x}$ 

${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!,\;e^{-x}=\cosh x-\sinh x\!}$ 

所以

${\displaystyle \cosh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})=\cos x}$ 

${\displaystyle \sinh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}-e^{-ix})=i\sin x}$ 

下表列出部分的三角函數與雙曲函數的恆等式：

三角函數

雙曲函數

${\displaystyle \sin \theta =-i\sinh {i\theta }\,}$

${\displaystyle \sinh {\theta }=i\sin {(-i\theta )}\,}$ 四月 01, 2023 最新的文章 一月 01, 1970 已灭亡国家列表 一月 01, 1970 已不存在的NBA球队列表 一月 01, 1970 已故 一月 01, 1970 已歇業航空公司列表 一月 01, 1970 已测序真核生物基因组列表 一月 01, 1970 已测序动物基因组列表 一月 01, 1970 已滅絕植物列表 一月 01, 1970 已解散的NBA球队列表 一月 01, 1970 已阅门 一月 01, 1970 巳 閱讀最多 一月 01, 1970 佩德雷尔 一月 01, 1970 佩尼伊斯科拉 一月 01, 1970 佩尔特 一月 01, 1970 佩尔特莱布列讷 一月 01, 1970 佩尔什地区贝尔福雷 三角恒等式, 在数学中, 是对出现的所有值都为實变量, 涉及到三角函数的等式, 这些恒等式在表达式中有些三角函数需要简化的时候是很有用的, 一个重要应用是非三角函数的积分, 一个常用技巧是首先使用使用三角函数的代换规则, 则通过可简化结果的积分, 在几何上依据以o为中心的单位圆可以构造角θ的很多三角函数, 三角函數示意圖幾個三角函數的圖形, 分別為正弦, 餘弦, 正切, 餘切, 正割, 餘割和正矢, 配色與上圖相同, 单位圆的角度, 目录, 符号, 基本關係, 其他函數的基本關係, 对称, 移位和周期, 对称, 移. 在数学中 三角恒等式是对出现的所有值都为實变量 涉及到三角函数的等式 这些恒等式在表达式中有些三角函数需要简化的时候是很有用的 一个重要应用是非三角函数的积分 一个常用技巧是首先使用使用三角函数的代换规则 则通过三角恒等式可简化结果的积分 在几何上依据以O为中心的单位圆可以构造角8的很多三角函数 三角函數示意圖幾個三角函數的圖形 分別為正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割和正矢 配色與上圖相同 单位圆的角度 目录 1 符号 2 基本關係 2 1 其他函數的基本關係 3 对称 移位和周期 3 1 对称 3 2 移位和周期 4 角的和差恒等式 4 1 正弦与余弦的无限多项和 4 2 正切的有限多项和 5 多倍角公式 5 1 雙倍角 三倍角和半角公式 5 2 n倍角公式 5 3 其他函數的倍半角公式 6 幂简约公式 7 数值连乘 8 常見的恆等式 8 1 积化和差与和差化积恆等式 8 2 平方差公式 8 3 其他恆等式 8 3 1 托勒密定理 9 三角函數與雙曲函數的恆等式 10 线性组合 11 反三角函数 12 无限乘积公式 13 微積分 13 1 蘊涵 14 指数定义 15 参见 16 註釋 17 參考文獻 17 1 引用 17 2 来源符号 编辑为了避免由于sin 1 x displaystyle sin 1 x 的不同意思所带来的混淆 我們經常用下列兩個表格來表示三角函数的倒数和反函数 另外在表示余割函数時 csc displaystyle csc 有时會寫成比較长的 c o c s c displaystyle mathrm cocsc 函数 反函數 倒数中文 全寫 簡寫 中文 全寫 簡寫 中文 全寫 簡寫正弦 sine sin 反正弦 arcsine arcsin 餘割 cosecant csc餘弦 cosine cos 反餘弦 arccosine arccos 正割 secant sec正切 tangent tan 反正切 arctangent arctan 餘切 cotangent cot餘切 cotangent cot 反餘切 arccotangent arccot 正切 tangent tan正割 secant sec 反正割 arcsecant arcsec 餘弦 cosine cos餘割 cosecant csc 反餘割 arccosecant arccsc 正弦 sine sin不同的角度度量适合于不同的情况 本表展示最常用的系统 弧度是缺省的角度量并用在指数函数中 所有角度度量都是无单位的 另外在計算機中角度的符號為D 弧度的符號為R 梯度的符號為G 相同角度的轉換表 角度單位 值 計算機中代號轉 0 displaystyle 0 1 12 displaystyle frac 1 12 1 8 displaystyle frac 1 8 1 6 displaystyle frac 1 6 1 4 displaystyle frac 1 4 1 2 displaystyle frac 1 2 3 4 displaystyle frac 3 4 1 displaystyle 1 無角度 0 displaystyle 0 circ 30 displaystyle 30 circ 45 displaystyle 45 circ 60 displaystyle 60 circ 90 displaystyle 90 circ 180 displaystyle 180 circ 270 displaystyle 270 circ 360 displaystyle 360 circ D弧度 0 displaystyle 0 p 6 displaystyle frac pi 6 p 4 displaystyle frac pi 4 p 3 displaystyle frac pi 3 p 2 displaystyle frac pi 2 p displaystyle pi 3 p 2 displaystyle frac 3 pi 2 2 p displaystyle 2 pi R梯度 0 g displaystyle 0 g 33 1 3 g displaystyle 33 frac 1 3 g 50 g displaystyle 50 g 66 2 3 g displaystyle 66 frac 2 3 g 100 g displaystyle 100 g 200 g displaystyle 200 g 300 g displaystyle 300 g 400 g displaystyle 400 g G基本關係 编辑 三角函數間的關係 畢達哥拉斯三角恒等式如下 sin 2 8 cos 2 8 1 displaystyle sin 2 theta cos 2 theta 1 tan 2 8 1 sec 2 8 displaystyle tan 2 theta 1 sec 2 theta 1 cot 2 8 csc 2 8 displaystyle 1 cot 2 theta csc 2 theta 由上面的平方關係加上三角函數的基本定義 可以導出下面的表格 即每個三角函數都可以用其他五個表達 严谨地说 所有根号前都应根据实际情况添加正负号 函數 sin displaystyle sin cos displaystyle cos tan displaystyle tan cot displaystyle cot sec displaystyle sec csc displaystyle csc sin 8 displaystyle sin theta sin 8 displaystyle sin theta 1 cos 2 8 displaystyle sqrt 1 cos 2 theta tan 8 1 tan 2 8 displaystyle frac tan theta sqrt 1 tan 2 theta 1 1 cot 2 8 displaystyle frac 1 sqrt 1 cot 2 theta sec 2 8 1 sec 8 displaystyle frac sqrt sec 2 theta 1 sec theta 1 csc 8 displaystyle frac 1 csc theta cos 8 displaystyle cos theta 1 sin 2 8 displaystyle sqrt 1 sin 2 theta cos 8 displaystyle cos theta 1 1 tan 2 8 displaystyle frac 1 sqrt 1 tan 2 theta cot 8 1 cot 2 8 displaystyle frac cot theta sqrt 1 cot 2 theta 1 sec 8 displaystyle frac 1 sec theta csc 2 8 1 csc 8 displaystyle frac sqrt csc 2 theta 1 csc theta tan 8 displaystyle tan theta sin 8 1 sin 2 8 displaystyle frac sin theta sqrt 1 sin 2 theta 1 cos 2 8 cos 8 displaystyle frac sqrt 1 cos 2 theta cos theta tan 8 displaystyle tan theta 1 cot 8 displaystyle frac 1 cot theta sec 2 8 1 displaystyle sqrt sec 2 theta 1 1 csc 2 8 1 displaystyle frac 1 sqrt csc 2 theta 1 cot 8 displaystyle cot theta 1 sin 2 8 sin 8 displaystyle sqrt 1 sin 2 theta over sin theta cos 8 1 cos 2 8 displaystyle cos theta over sqrt 1 cos 2 theta 1 tan 8 displaystyle 1 over tan theta cot 8 displaystyle cot theta 1 sec 2 8 1 displaystyle 1 over sqrt sec 2 theta 1 csc 2 8 1 displaystyle sqrt csc 2 theta 1 sec 8 displaystyle sec theta 1 1 sin 2 8 displaystyle 1 over sqrt 1 sin 2 theta 1 cos 8 displaystyle 1 over cos theta 1 tan 2 8 displaystyle sqrt 1 tan 2 theta 1 cot 2 8 cot 8 displaystyle sqrt 1 cot 2 theta over cot theta sec 8 displaystyle sec theta csc 8 csc 2 8 1 displaystyle csc theta over sqrt csc 2 theta 1 csc 8 displaystyle csc theta 1 sin 8 displaystyle 1 over sin theta 1 1 cos 2 8 displaystyle 1 over sqrt 1 cos 2 theta 1 tan 2 8 tan 8 displaystyle sqrt 1 tan 2 theta over tan theta 1 cot 2 8 displaystyle sqrt 1 cot 2 theta sec 8 sec 2 8 1 displaystyle sec theta over sqrt sec 2 theta 1 csc 8 displaystyle csc theta 其他函數的基本關係 编辑 正矢 餘矢 半正矢 半餘矢 外正割用於航行 例如半正矢可以計算球體上的兩個點之間的距離 但它們不常用 名稱 函數 值 1 正矢 versine versin 8 displaystyle operatorname versin theta vers 8 displaystyle operatorname vers theta ver 8 displaystyle operatorname ver theta 1 cos 8 displaystyle 1 cos theta 餘的正矢 vercosine vercosin 8 displaystyle operatorname vercosin theta 1 cos 8 displaystyle 1 cos theta 餘矢 coversine coversin 8 displaystyle operatorname coversin theta cvs 8 displaystyle operatorname cvs theta 1 sin 8 displaystyle 1 sin theta 餘的餘矢 covercosine covercosin 8 displaystyle operatorname covercosin theta 1 sin 8 displaystyle 1 sin theta 半正矢 haversine haversin 8 displaystyle operatorname haversin theta 1 cos 8 2 displaystyle frac 1 cos theta 2 餘的半正矢 havercosine havercosin 8 displaystyle operatorname havercosin theta 1 cos 8 2 displaystyle frac 1 cos theta 2 半餘矢 hacoversinecohaversine hacoversin 8 displaystyle operatorname hacoversin theta 1 sin 8 2 displaystyle frac 1 sin theta 2 餘的半餘矢 hacovercosinecohavercosine hacovercosin 8 displaystyle operatorname hacovercosin theta 1 sin 8 2 displaystyle frac 1 sin theta 2 外正割 exsecant exsec 8 displaystyle operatorname exsec theta sec 8 1 displaystyle sec theta 1 外餘割 excosecant excsc 8 displaystyle operatorname excsc theta csc 8 1 displaystyle csc theta 1 弦 chord crd 8 displaystyle operatorname crd theta 2 sin 8 2 displaystyle 2 sin left frac theta 2 right 純虛數指數函數 cosine and imaginary unit sine cis 8 displaystyle operatorname cis theta cos 8 i sin 8 displaystyle cos theta i sin theta 輻角 Argument arg x displaystyle arg x Im ln x displaystyle operatorname Im ln x 对称 移位和周期 编辑更多信息 诱导公式 通过检视单位圆 可确立三角函数的下列性质 对称 编辑 当三角函数反射自某个特定的8 displaystyle theta 值 结果经常是另一个其他三角函数 这导致了下列恒等式 反射于8 0 displaystyle theta 0 反射于8 p 4 displaystyle theta tfrac pi 4 反射于8 p 2 displaystyle theta tfrac pi 2 反射于8 3 p 4 displaystyle theta tfrac 3 pi 4 sin 0 8 sin 8 cos 0 8 cos 8 tan 0 8 tan 8 cot 0 8 cot 8 sec 0 8 sec 8 csc 0 8 csc 8 displaystyle begin aligned sin 0 theta amp sin theta cos 0 theta amp cos theta tan 0 theta amp tan theta cot 0 theta amp cot theta sec 0 theta amp sec theta csc 0 theta amp csc theta end aligned sin p 2 8 cos 8 cos p 2 8 sin 8 tan p 2 8 cot 8 cot p 2 8 tan 8 sec p 2 8 csc 8 csc p 2 8 sec 8 displaystyle begin aligned sin tfrac pi 2 theta amp cos theta cos tfrac pi 2 theta amp sin theta tan tfrac pi 2 theta amp cot theta cot tfrac pi 2 theta amp tan theta sec tfrac pi 2 theta amp csc theta csc tfrac pi 2 theta amp sec theta end aligned sin p 8 sin 8 cos p 8 cos 8 tan p 8 tan 8 cot p 8 cot 8 sec p 8 sec 8 csc p 8 csc 8 displaystyle begin aligned sin pi theta amp sin theta cos pi theta amp cos theta tan pi theta amp tan theta cot pi theta amp cot theta sec pi theta amp sec theta csc pi theta amp csc theta end aligned sin 3 p 2 8 cos 8 cos 3 p 2 8 sin 8 tan 3 p 2 8 cot 8 cot 3 p 2 8 tan 8 sec 3 p 2 8 csc 8 csc 3 p 2 8 sec 8 displaystyle begin aligned sin tfrac 3 pi 2 theta amp cos theta cos tfrac 3 pi 2 theta amp sin theta tan tfrac 3 pi 2 theta amp cot theta cot tfrac 3 pi 2 theta amp tan theta sec tfrac 3 pi 2 theta amp csc theta csc tfrac 3 pi 2 theta amp sec theta end aligned 移位和周期 编辑 通过旋转特定角度移位三角函数 经常可以找到更简单的表达结果的不同的三角函数 例如通过旋转p 2 displaystyle tfrac pi 2 p displaystyle pi 和2 p displaystyle 2 pi 弧度移位函数 因为这些函数的周期要么是p displaystyle pi 要么是2 p displaystyle 2 pi 新函数和没有移位的旧函数完全一样 移位p 2 displaystyle tfrac pi 2 移位p displaystyle pi 移位3 p 2 displaystyle tfrac 3 pi 2 移位2 p displaystyle 2 pi tan displaystyle tan 和cot displaystyle cot 的周期 sin displaystyle sin cos displaystyle cos csc displaystyle csc 和sec displaystyle sec 的周期sin 8 p 2 cos 8 cos 8 p 2 sin 8 tan 8 p 2 cot 8 cot 8 p 2 tan 8 sec 8 p 2 csc 8 csc 8 p 2 sec 8 displaystyle begin aligned sin theta tfrac pi 2 amp cos theta cos theta tfrac pi 2 amp sin theta tan theta tfrac pi 2 amp cot theta cot theta tfrac pi 2 amp tan theta sec theta tfrac pi 2 amp csc theta csc theta tfrac pi 2 amp sec theta end aligned sin 8 p sin 8 cos 8 p cos 8 tan 8 p tan 8 cot 8 p cot 8 sec 8 p sec 8 csc 8 p csc 8 displaystyle begin aligned sin theta pi amp sin theta cos theta pi amp cos theta tan theta pi amp tan theta cot theta pi amp cot theta sec theta pi amp sec theta csc theta pi amp csc theta end aligned sin 8 3 p 2 cos 8 cos 8 3 p 2 sin 8 tan 8 3 p 2 cot 8 cot 8 3 p 2 tan 8 sec 8 3 p 2 csc 8 csc 8 3 p 2 sec 8 displaystyle begin aligned sin theta tfrac 3 pi 2 amp cos theta cos theta tfrac 3 pi 2 amp sin theta tan theta tfrac 3 pi 2 amp cot theta cot theta tfrac 3 pi 2 amp tan theta sec theta tfrac 3 pi 2 amp csc theta csc theta tfrac 3 pi 2 amp sec theta end aligned sin 8 2 p sin 8 cos 8 2 p cos 8 tan 8 2 p tan 8 cot 8 2 p cot 8 sec 8 2 p sec 8 csc 8 2 p csc 8 displaystyle begin aligned sin theta 2 pi amp sin theta cos theta 2 pi amp cos theta tan theta 2 pi amp tan theta cot theta 2 pi amp cot theta sec theta 2 pi amp sec theta csc theta 2 pi amp csc theta end aligned 角的和差恒等式 编辑 正弦與餘弦的角和公式的圖形證明法 使用了相似三角形的性質與三角函數的定義 強調的線段是單位長度 正切的角和公式的圖形證明法 使用了相似三角形的性質與三角函數的定義 強調的線段是單位長度 它们也叫做 和差定理 和差公式 或 和角公式 最快速簡要的檢定方式是使用欧拉公式 註 1 正弦 sin a b sin a cos b cos a sin b displaystyle sin alpha pm beta sin alpha cos beta pm cos alpha sin beta 余弦 cos a b cos a cos b sin a sin b displaystyle cos alpha pm beta cos alpha cos beta mp sin alpha sin beta 正切 tan a b tan a tan b 1 tan a tan b displaystyle tan alpha pm beta frac tan alpha pm tan beta 1 mp tan alpha tan beta 余切 cot a b cot a cot b 1 cot b cot a displaystyle cot alpha pm beta frac cot alpha cot beta mp 1 cot beta pm cot alpha 正割 sec a b sec a sec b 1 tan a tan b displaystyle sec alpha pm beta frac sec alpha sec beta 1 mp tan alpha tan beta 余割 csc a b csc a csc b cot b cot a displaystyle csc alpha pm beta frac csc alpha csc beta cot beta pm cot alpha 注意正负号的对应 x y a b x y a b and x y a b displaystyle begin aligned x pm y a pm b amp Rightarrow x y a b amp mbox and x y a b end aligned x y a b x y a b and x y a b displaystyle begin aligned x pm y a mp b amp Rightarrow x y a b amp mbox and x y a b end aligned 正弦与余弦的无限多项和 编辑 sin i 1 8 i o d d k 1 1 k 1 2 A k i A sin 8 i i A cos 8 i displaystyle sin left sum i 1 infty theta i right sum mathrm odd k geq 1 1 frac k 1 2 sum A k left prod i in A sin theta i prod i not in A cos theta i right cos i 1 8 i e v e n k 0 1 k 2 A k i A sin 8 i i A cos 8 i displaystyle cos left sum i 1 infty theta i right sum mathrm even k geq 0 1 frac k 2 sum A k left prod i in A sin theta i prod i not in A cos theta i right 这里的 A k displaystyle A k 意味着索引A displaystyle A 遍历集合 1 2 3 displaystyle left 1 2 3 ldots right 的大小为k displaystyle k 的所有子集的集合 在这两个恒等式中出现了在有限多项中不出现的不对称 在每个乘积中 只有有限多个正弦因子和餘有限多个余弦因子 如果只有有限多项8 i displaystyle theta i 是非零 则在右边只有有限多项是非零 因为正弦因子将变为零 而在每个项中 所有却有限多的余弦因子将是单位一 正切的有限多项和 编辑 设x i tan 8 i displaystyle x i tan theta i 对于i 1 n displaystyle i 1 ldots n 设e k displaystyle e k 是变量x i displaystyle x i i 1 n displaystyle i 1 ldots n k 0 n displaystyle k 0 ldots n 的k displaystyle k 次基本对称多项式 则 tan 8 1 8 n e 1 e 3 e 5 e 0 e 2 e 4 displaystyle tan theta 1 cdots theta n frac e 1 e 3 e 5 cdots e 0 e 2 e 4 cdots 项的数目依赖于n displaystyle n 例如 tan 8 1 8 2 8 3 e 1 e 3 e 0 e 2 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 1 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 tan 8 1 8 2 8 3 8 4 e 1 e 3 e 0 e 2 e 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 x 1 x 3 x 4 x 2 x 3 x 4 1 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 displaystyle begin aligned tan theta 1 theta 2 theta 3 amp frac e 1 e 3 e 0 e 2 frac x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 1 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 tan theta 1 theta 2 theta 3 theta 4 amp frac e 1 e 3 e 0 e 2 e 4 amp frac x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 x 1 x 3 x 4 x 2 x 3 x 4 1 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 end aligned 并以此类推 一般情况可通过数学归纳法证明 多倍角公式 编辑T n displaystyle T n 是n displaystyle n 次切比雪夫多项式 cos n 8 T n cos 8 displaystyle cos n theta T n cos theta S n displaystyle S n 是n displaystyle n 次伸展多项式 sin 2 n 8 S n sin 2 8 displaystyle sin 2 n theta S n sin 2 theta 棣莫弗定理 i displaystyle i 是虚单位 cos n 8 i sin n 8 cos 8 i sin 8 n displaystyle cos n theta i sin n theta cos theta i sin theta n 1 2 cos x 2 cos 2 x 2 cos 3 x 2 cos n x sin n 1 2 x sin x 2 displaystyle 1 2 cos x 2 cos 2x 2 cos 3x cdots 2 cos nx frac sin left left n frac 1 2 right x right sin frac x 2 這個x displaystyle x 的函數是狄利克雷核 雙倍角 三倍角和半角公式 编辑 這些公式可以使用和差恒等式或多倍角公式来证明 弦 切 割雙倍角公式 正 sin 2 8 2 sin 8 cos 8 2 tan 8 1 tan 2 8 displaystyle begin aligned sin 2 theta amp 2 sin theta cos theta amp frac 2 tan theta 1 tan 2 theta end aligned tan 2 8 2 tan 8 1 tan 2 8 1 1 tan 8 1 1 tan 8 displaystyle begin aligned tan 2 theta amp frac 2 tan theta 1 tan 2 theta amp frac 1 1 tan theta frac 1 1 tan theta end aligned sec 2 8 sec 2 8 1 tan 2 8 sec 2 8 2 sec 2 8 displaystyle begin aligned sec 2 theta amp frac sec 2 theta 1 tan 2 theta amp frac sec 2 theta 2 sec 2 theta end aligned 餘 cos 2 8 cos 2 8 sin 2 8 2 cos 2 8 1 1 2 sin 2 8 1 tan 2 8 1 tan 2 8 displaystyle begin aligned cos 2 theta amp cos 2 theta sin 2 theta amp 2 cos 2 theta 1 amp 1 2 sin 2 theta amp frac 1 tan 2 theta 1 tan 2 theta end aligned cot 2 8 cot 2 8 1 2 cot 8 cot 8 tan 8 2 displaystyle begin aligned cot 2 theta amp frac cot 2 theta 1 2 cot theta amp frac cot theta tan theta 2 end aligned csc 2 8 csc 2 8 2 cot 8 sec 8 csc 8 2 displaystyle begin aligned csc 2 theta amp frac csc 2 theta 2 cot theta amp frac sec theta csc theta 2 end aligned 降次公式 正 sin 2 8 1 cos 2 8 2 displaystyle sin 2 theta frac 1 cos 2 theta 2 tan 2 8 1 cos 2 8 1 cos 2 8 displaystyle tan 2 theta frac 1 cos 2 theta 1 cos 2 theta 餘 cos 2 8 1 cos 2 8 2 displaystyle cos 2 theta frac 1 cos 2 theta 2 cot 2 8 1 cos 2 8 1 cos 2 8 displaystyle cot 2 theta frac 1 cos 2 theta 1 cos 2 theta 三倍角公式 正 sin 3 8 3 sin 8 4 sin 3 8 displaystyle sin 3 theta 3 sin theta 4 sin 3 theta tan 3 8 3 tan 8 tan 3 8 1 3 tan 2 8 displaystyle tan 3 theta frac 3 tan theta tan 3 theta 1 3 tan 2 theta sec 3 8 sec 3 8 4 3 sec 2 8 displaystyle sec 3 theta frac sec 3 theta 4 3 sec 2 theta 餘 cos 3 8 4 cos 3 8 3 cos 8 displaystyle cos 3 theta 4 cos 3 theta 3 cos theta cot 3 8 cot 3 8 3 cot 8 3 cot 2 8 1 displaystyle cot 3 theta frac cot 3 theta 3 cot theta 3 cot 2 theta 1 csc 3 8 csc 3 8 3 csc 2 8 4 displaystyle csc 3 theta frac csc 3 theta 3 csc 2 theta 4 半角公式 正 sin 8 2 1 cos 8 2 displaystyle sin frac theta 2 pm sqrt frac 1 cos theta 2 tan 8 2 csc 8 cot 8 1 cos 8 1 cos 8 sin 8 1 cos 8 1 cos 8 sin 8 cos 8 sin 8 1 cos 8 sin 8 1 cot 2 8 1 cot 8 displaystyle begin aligned tan frac theta 2 amp csc theta cot theta amp pm sqrt 1 cos theta over 1 cos theta amp frac sin theta 1 cos theta amp frac 1 cos theta sin theta amp frac cos theta sin theta 1 cos theta sin theta 1 amp sqrt cot 2 theta 1 cot theta end aligned sec 8 2 2 sec 8 sec 8 1 displaystyle sec frac theta 2 pm sqrt frac 2 sec theta sec theta 1 餘 cos 8 2 1 cos 8 2 displaystyle cos frac theta 2 pm sqrt frac 1 cos theta 2 cot 8 2 csc 8 cot 8 1 cos 8 1 cos 8 sin 8 1 cos 8 1 cos 8 sin 8 cos 8 sin 8 1 cos 8 sin 8 1 cot 2 8 1 cot 8 displaystyle begin aligned cot frac theta 2 amp csc theta cot theta amp pm sqrt 1 cos theta over 1 cos theta amp frac sin theta 1 cos theta amp frac 1 cos theta sin theta amp frac cos theta sin theta 1 cos theta sin theta 1 amp sqrt cot 2 theta 1 cot theta end aligned csc 8 2 2 sec 8 sec 8 1 displaystyle csc frac theta 2 pm sqrt frac 2 sec theta sec theta 1 n倍角公式 编辑 n displaystyle n 倍角公式sin n 8 k 0 n n k cos k 8 sin n k 8 sin 1 2 n k p sin 8 k 0 n 1 2 1 k n 1 k k 2 cos 8 n 1 2 k displaystyle sin n theta sum k 0 n binom n k cos k theta sin n k theta sin left frac 1 2 n k pi right sin theta sum k 0 lfloor frac n 1 2 rfloor 1 k binom n 1 k k 2 cos theta n 1 2k 第二类切比雪夫多项式 cos n 8 k 0 n n k cos k 8 sin n k 8 cos 1 2 n k p 1 2 k 0 n 2 1 k n n k n k k 2 cos 8 n 2 k displaystyle cos n theta sum k 0 n binom n k cos k theta sin n k theta cos left frac 1 2 n k pi right frac 1 2 sum k 0 lfloor frac n 2 rfloor 1 k frac n n k binom n k k 2 cos theta n 2k 第一类切比雪夫多项式 tan n 8 k 1 n 2 1 k 1 n 2 k 1 tan 2 k 1 8 k 1 n 1 2 1 k 1 n 2 k 1 tan 2 k 1 8 displaystyle tan n theta frac displaystyle sum k 1 left frac n 2 right 1 k 1 binom n 2k 1 tan 2k 1 theta displaystyle sum k 1 left frac n 1 2 right 1 k 1 binom n 2 k 1 tan 2 k 1 theta n displaystyle n 倍遞迴公式tan n 8 tan n 1 8 tan 8 1 tan n 1 8 tan 8 displaystyle tan n theta frac tan n 1 theta tan theta 1 tan n 1 theta tan theta cot n 8 cot n 1 8 cot 8 1 cot n 1 8 cot 8 displaystyle cot n theta frac cot n 1 theta cot theta 1 cot n 1 theta cot theta 遞迴關係 参见正切半角公式 它也叫做 万能公式 其他函數的倍半角公式 编辑 正矢versin 2 8 2 sin 2 8 sin 2 8 sin 8 cos 8 1 cos 2 8 displaystyle operatorname versin 2 theta 2 sin 2 theta frac sin 2 theta sin theta cos theta 1 cos 2 theta 餘矢cvs 2 8 sin 8 cos 8 2 1 sin 2 8 displaystyle operatorname cvs 2 theta sin theta cos theta 2 1 sin 2 theta 幂简约公式 编辑从解余弦二倍角公式的第二和第三版本得到 正弦 餘弦 其他sin 2 8 1 cos 2 8 2 displaystyle sin 2 theta frac 1 cos 2 theta 2 cos 2 8 1 cos 2 8 2 displaystyle cos 2 theta frac 1 cos 2 theta 2 sin 2 8 cos 2 8 1 cos 4 8 8 displaystyle sin 2 theta cos 2 theta frac 1 cos 4 theta 8 sin 3 8 3 sin 8 sin 3 8 4 displaystyle sin 3 theta frac 3 sin theta sin 3 theta 4 cos 3 8 3 cos 8 cos 3 8 4 displaystyle cos 3 theta frac 3 cos theta cos 3 theta 4 sin 3 8 cos 3 8 3 sin 2 8 sin 6 8 32 displaystyle sin 3 theta cos 3 theta frac 3 sin 2 theta sin 6 theta 32 sin 4 8 3 4 cos 2 8 cos 4 8 8 displaystyle sin 4 theta frac 3 4 cos 2 theta cos 4 theta 8 cos 4 8 3 4 cos 2 8 cos 4 8 8 displaystyle cos 4 theta frac 3 4 cos 2 theta cos 4 theta 8 sin 4 8 cos 4 8 3 4 cos 4 8 cos 8 8 128 displaystyle sin 4 theta cos 4 theta frac 3 4 cos 4 theta cos 8 theta 128 sin 5 8 10 sin 8 5 sin 3 8 sin 5 8 16 displaystyle sin 5 theta frac 10 sin theta 5 sin 3 theta sin 5 theta 16 cos 5 8 10 cos 8 5 cos 3 8 cos 5 8 16 displaystyle cos 5 theta frac 10 cos theta 5 cos 3 theta cos 5 theta 16 sin 5 8 cos 5 8 10 sin 2 8 5 sin 6 8 sin 10 8 512 displaystyle sin 5 theta cos 5 theta frac 10 sin 2 theta 5 sin 6 theta sin 10 theta 512 餘弦 正弦如果n displaystyle n 是奇數 cos n 8 2 2 n k 0 n 1 2 n k cos n 2 k 8 displaystyle cos n theta frac 2 2 n sum k 0 frac n 1 2 binom n k cos n 2k theta sin n 8 2 2 n k 0 n 1 2 1 n 1 2 k n k sin n 2 k 8 displaystyle sin n theta frac 2 2 n sum k 0 frac n 1 2 1 left frac n 1 2 k right binom n k sin n 2k theta 如果n displaystyle n 是偶數 cos n 8 1 2 n n n 2 2 2 n k 0 n 2 1 n k cos n 2 k 8 displaystyle cos n theta frac 1 2 n binom n frac n 2 frac 2 2 n sum k 0 frac n 2 1 binom n k cos n 2k theta sin n 8 1 2 n n n 2 2 2 n k 0 n 2 1 1 n 2 k n k cos n 2 k 8 displaystyle sin n theta frac 1 2 n binom n frac n 2 frac 2 2 n sum k 0 frac n 2 1 1 left frac n 2 k right binom n k cos n 2k theta 数值连乘 编辑 k 0 n 1 cos 2 k 8 sin 2 n 8 2 n sin 8 displaystyle prod k 0 n 1 cos 2 k theta frac sin 2 n theta 2 n sin theta 2 k 0 n 1 sin x k p n sin n x 2 n 1 displaystyle prod k 0 n 1 sin left x frac k pi n right frac sin nx 2 n 1 2 k 1 n 1 sin k p n n 2 n 1 displaystyle prod k 1 n 1 sin left frac k pi n right frac n 2 n 1 k 1 n 1 sin k p 2 n n 2 n 1 displaystyle prod k 1 n 1 sin left frac k pi 2n right frac sqrt n 2 n 1 k 1 n sin k p 2 n 1 2 n 1 2 n displaystyle prod k 1 n sin left frac k pi 2n 1 right frac sqrt 2n 1 2 n k 1 n 1 cos k p n sin n p 2 2 n 1 displaystyle prod k 1 n 1 cos left frac k pi n right frac sin frac n pi 2 2 n 1 k 1 n 1 cos k p 2 n n 2 n 1 displaystyle prod k 1 n 1 cos left frac k pi 2n right frac sqrt n 2 n 1 k 1 n cos k p 2 n 1 1 2 n displaystyle prod k 1 n cos left frac k pi 2n 1 right frac 1 2 n k 1 n 1 tan k p n n sin n p 2 displaystyle prod k 1 n 1 tan left frac k pi n right frac n sin frac n pi 2 k 1 n 1 tan k p 2 n 1 displaystyle prod k 1 n 1 tan left frac k pi 2n right 1 k 1 n tan k p 2 n 1 2 n 1 displaystyle prod k 1 n tan frac k pi 2n 1 sqrt 2n 1 常見的恆等式 编辑积化和差与和差化积恆等式 编辑 數學家韋達在其三角學著作 應用於三角形的數學定律 給出积化和差与和差化积恒等式 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明 积化和差 和差化积sin a cos b sin a b sin a b 2 displaystyle sin alpha cos beta sin alpha beta sin alpha beta over 2 sin a sin b 2 sin a b 2 cos a b 2 displaystyle sin alpha sin beta 2 sin frac alpha beta 2 cos frac alpha beta 2 cos a sin b sin a b sin a b 2 displaystyle cos alpha sin beta sin alpha beta sin alpha beta over 2 sin a sin b 2 cos a b 2 sin a b 2 displaystyle sin alpha sin beta 2 cos alpha beta over 2 sin alpha beta over 2 cos a cos b cos a b cos a b 2 displaystyle cos alpha cos beta cos alpha beta cos alpha beta over 2 cos a cos b 2 cos a b 2 cos a b 2 displaystyle cos alpha cos beta 2 cos frac alpha beta 2 cos frac alpha beta 2 sin a sin b cos a b cos a b 2 displaystyle sin alpha sin beta cos alpha beta cos alpha beta over 2 cos a cos b 2 sin a b 2 sin a b 2 displaystyle cos alpha cos beta 2 sin alpha beta over 2 sin alpha beta over 2 平方差公式 编辑 sin x y sin x y sin 2 x sin 2 y cos 2 y cos 2 x displaystyle sin x y sin x y sin 2 x sin 2 y cos 2 y cos 2 x cos x y cos x y cos 2 x sin 2 y cos 2 y sin 2 x displaystyle cos x y cos x y cos 2 x sin 2 y cos 2 y sin 2 x 可藉由積化和差公式 2倍角公式推導而來 其他恆等式 编辑 如果x y z n p displaystyle x y z n pi 那么tan x tan y tan z tan x tan y tan z displaystyle tan x tan y tan z tan x tan y tan z cot x cot y cot y cot z cot z cot x 1 displaystyle cot x cot y cot y cot z cot z cot x 1 dd dd 如果x y z n p p 2 displaystyle x y z n pi frac pi 2 那么tan x tan y tan y tan z tan z tan x 1 displaystyle tan x tan y tan y tan z tan z tan x 1 cot x cot y cot z cot x cot y cot z displaystyle cot x cot y cot z cot x cot y cot z dd dd 如果x y z p displaystyle x y z pi 那么sin 2 x sin 2 y sin 2 z 4 sin x sin y sin z displaystyle sin 2x sin 2y sin 2z 4 sin x sin y sin z sin x sin y sin z 4 cos x 2 cos y 2 cos z 2 displaystyle sin x sin y sin z 4 cos frac x 2 cos frac y 2 cos frac z 2 cos x cos y cos z 1 4 sin x 2 sin y 2 sin z 2 displaystyle cos x cos y cos z 1 4 sin frac x 2 sin frac y 2 sin frac z 2 dd dd 托勒密定理 编辑 如果w x y z p displaystyle w x y z pi 半圆 那么 sin w x sin x y sin x y sin y z sin y z sin z w sin z w sin w x sin w sin y sin x sin z displaystyle begin aligned sin w x sin x y amp sin x y sin y z amp sin y z sin z w amp sin z w sin w x amp sin w sin y sin x sin z end aligned dd 前三个等式是一般情况 第四个是本质 三角函數與雙曲函數的恆等式 编辑利用三角恒等式的指數定義和雙曲函數的指數定義即可求出下列恆等式 e i x cos x i sin x e i x cos x i sin x displaystyle e ix cos x i sin x e ix cos x i sin x e x cosh x sinh x e x cosh x sinh x displaystyle e x cosh x sinh x e x cosh x sinh x 所以cosh i x 1 2 e i x e i x cos x displaystyle cosh ix tfrac 1 2 e ix e ix cos x sinh i x 1 2 e i x e i x i sin x displaystyle sinh ix tfrac 1 2 e ix e ix i sin x 下表列出部分的三角函數與雙曲函數的恆等式 三角函數 雙曲函數sin 8 i sinh i 8 displaystyle sin theta i sinh i theta sinh 8 i sin i 8 displaystyle sinh theta i sin i theta span, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆， 文章 ，阅读，下载，免费，免费下载，mp3，视频，mp4，3gp， jpg，jpeg，gif，png，图片，音乐，歌曲，电影，书籍，游戏，游戏。 © 版權所有 2021，保留所有權利  |   www.wiki2.zh-cn.nina.az Rss Feed SiteMap Ping DMCA 联系我们 主頁 關閉 稱呼: