反函數

在數學裡，反函數，也称为逆函数（英語：Inverse function），為對一個定函數做逆運算的函數。

函数ƒ和它的反函数ƒ^–1。由于ƒ把a映射到3，因此反函数ƒ^–1把3映射回到a。

定义

設${\displaystyle f}$ 為一函數，其定義域為${\displaystyle X}$ ，值域為${\displaystyle Y}$ 。如果存在一函數${\displaystyle g}$ ，其定義域和值域分別為${\displaystyle Y,\,X}$ ，並對每一${\displaystyle x\in X}$ 有： ${\displaystyle g(f(x))=x\,}$  則稱${\displaystyle g}$ 為${\displaystyle f}$ 的反函數，記之為${\displaystyle f^{-1}}$ 。^{[註 1]}

例如，若給定一函數${\displaystyle f:x\mapsto 3x+2}$ ，則其反函數為${\displaystyle f^{-1}:x\mapsto {\frac {x-2}{3}}}$ 。 若一函數有反函數，此函數便稱為可逆的。

簡單規則

一般而言，當${\displaystyle f(x)}$ 為一任意函數，且${\displaystyle g}$ 為其反函數，則${\displaystyle g(f(x))=x}$ ，${\displaystyle f(g(y))=y}$ 。換句話說，反函數撤销了原函數的运算。

在上述例子，可以證明${\displaystyle f^{-1}}$ 確為反函數，以將${\displaystyle {\frac {x-2}{3}}}$ 代入${\displaystyle f}$ 的方式，如此

${\displaystyle 3\times {\frac {x-2}{3}}+2=x}$ 。

類似地，也可以將${\displaystyle f}$ 代入${\displaystyle f^{-1}}$ 來證明。

確實，${\displaystyle f}$ 的反函數${\displaystyle g}$ 的一等價定義，就是${\displaystyle g\circ f}$ 為於${\displaystyle f}$ 定義域上的恆等函數，且${\displaystyle f\circ g}$ 為${\displaystyle f}$ 值域上的恆等函數。 ^{[註 2]}

存在性

如果一函數${\displaystyle f}$ 有反函數，${\displaystyle f}$ 必須是一雙射函數，即：

• 單射：陪域上的每一元素都只被${\displaystyle f}$ 映射至多一次。
• 滿射：陪域上的每一元素都必須被${\displaystyle f}$ 映射到。

不然將沒有辦法對某些元素定義${\displaystyle f}$ 的反函數。

設${\displaystyle f}$ 為一实函数。若${\displaystyle f}$ 有一反函數，它必通過水平線測試，即一放在${\displaystyle f}$ 圖上的水平線${\displaystyle y=k}$ 必對所有實數${\displaystyle k}$ ，至多通過一次。換言之，當${\displaystyle k}$ 位於${\displaystyle f}$ 的值域時，${\displaystyle y=k}$ 恰好通過f圖一次。

性質

• 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
• 原函数与其反函数的函数图像关于函数${\displaystyle y=x}$ 的图像对称。
• 严格单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。
• 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数，例如${\displaystyle y=x^{-3}}$ 

注释

1. 注意上標「−1」指的並不是冪，跟在三角學裡特指${\displaystyle \sin x}$ 平方的${\displaystyle \sin ^{2}x}$ 不同。
2. 其中的"o"表示函數複合

另見

• 值域
• 逆關係
• 反函数定理