映射

映射（英語：map，mapping）或称射影、写像，在数学及相关的领域经常等同于函数。基于此，部分映射就相当于部分函数，而完全映射相当于完全函数。在很多特定的数学领域中，这个术语用来描述具有与该领域相关联的特定性质函数，例如，在拓扑学中的连续函数，线性代数中的线性变换等等。^[1][2]

定义

在形式逻辑中

这个术语有时用来表示函数谓词（Functional predicate），在那里函数是集合论中谓词的模型。

在集合论中

设${\displaystyle A,B}$ 是两个非空集合，若对${\displaystyle A}$ 中的任一元素${\displaystyle x}$ ，依照某种规律或法则${\displaystyle f}$ ，恒有${\displaystyle B}$ 中唯一确定的元素${\displaystyle y}$ 与之对应，则称此对应规律或法则${\displaystyle f}$ 为一个从${\displaystyle A}$ 到${\displaystyle B}$ 的映射。

记作 ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$  或 ${\displaystyle f:x\mapsto y}$ 

並且，称集合${\displaystyle A}$ 为映射${\displaystyle f}$ 的定义域，集合${\displaystyle B}$ 为映射${\displaystyle f}$ 的到达域；称${\displaystyle y}$ 为${\displaystyle x}$ 的像，${\displaystyle x}$ 为${\displaystyle y}$ 的原像^[3]。

记作 ${\displaystyle y=f(x)}$ 

此外，称集合${\displaystyle R_{f}}$ 为映射${\displaystyle f}$ 的值域，

记作 ${\displaystyle R_{f}=\left\{f(x)|x\in A\right\}}$  或 ${\displaystyle R_{f}=f(A)}$ 

${\displaystyle R_{f}}$  称为${\displaystyle A}$ 在${\displaystyle f}$ 作用下的像。

参见

• 同态
• 态射
• 单射
• 满射
• 单射、双射与满射

參考資料

1. The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Mapping. Math Vault. 2019-08-01 [2019-12-06]. （原始内容于2020-02-28） （美国英语）. 
2. Weisstein, Eric W. (编). Map. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2019-12-06]. （原始内容于2021-12-06） （英语）. 
3. 胡冠章, 王殿军. 应用近世代数（清华大学硏究生公共课敎材: 数学系列）. 清华大学出版社有限公司. 2006: 12. ISBN 9787302125662.