值域

提示：此条目的主题不是到达域。

在数学中，函数的值域（英語：Range）是由定义域中一切元素所能產生的所有函數值的集合。有时候也称为函数的像。

给定函数${\displaystyle f:A\rightarrow B}$，集合${\displaystyle f(A)}$被称为是${\displaystyle f}$的值域，记为${\displaystyle R_{f}}$。值域不应跟陪域${\displaystyle B}$相混淆。一般来说，值域只是陪域的一个子集。

例子

假设函数${\displaystyle f}$ 为定义在实数上的函数：

${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ 

定义为

${\displaystyle f:x\mapsto x^{2}}$ 

${\displaystyle f}$ 的陪域为${\displaystyle \mathbb {R} }$ ，但明顯地${\displaystyle f(x)}$ 不會取到负数值，因此，事实上值域只是非负实数集合${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}}$ ，即区间${\displaystyle [0,\infty )}$ ：

${\displaystyle 0\leq f(x)<\infty }$ 。

求法

求函数值域，尤其是复合函数的值域时，首先要对基本的初等函数的定义域和值域充分了解，其次要灵活运用基本不等式。

基本方法

初等函数的值域求法一般为：

1. 观察法
2. 不等式法
3. 反函数法
4. 复合函数法
5. 配方法
6. 判别式法
7. 图像求值

观察法

例如：${\displaystyle y=3-{\sqrt {x}}}$ 

由${\displaystyle {\sqrt {x}}\geq 0}$ 

${\displaystyle \Rightarrow -{\sqrt {x}}\leq 0}$ 

所以值域为${\displaystyle (-\infty ,3]}$ 。

不等式法

反函数法

先求得所要计算的函数的反函数，则反函数的定义域即为原函数的值域。

例如：${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}$ 

它的反函数为${\displaystyle x=y^{3}}$ 

反函数的定义域为：${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ 

则原函数${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}$ 的值域为：${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ 

复合函数法

配方法

主条目：配方法

判别式法

图像求值

画出連續函数的图像，则函数图像纵轴的最小值和最大值（若有）组成的区间即为函数的值域。

相关条目

• 陪域
• 定义域
• 单射
• 满射
• 双射