區間

  此條目介紹的是数学上的区间概念。关于铁路运输的区间概念，请见「闭塞 (铁路)」。

區間（英語：interval）在數學上是指某個範圍的數的集合，一般以集合形式表示。

在圖中的數軸上，所有大于x和小于x+a的数组成了一个开区间。

簡說

在初等代數，傳統上區間指一個集，包含在某兩個特定實數之間的所有實數，亦可能包含該兩個實數（或其中之一）。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示排除，方括號表示包括。例如，開區間${\displaystyle (10,20)}$ 表示所有在${\displaystyle 10}$ 和${\displaystyle 20}$ 之間的實數，但不包括${\displaystyle 10}$ 或${\displaystyle 20}$ 。另一方面，閉區間${\displaystyle [10,20]}$ 表示所有在${\displaystyle 10}$ 和${\displaystyle 20}$ 之間的實數，以及${\displaystyle 10}$ 和${\displaystyle 20}$ 。^[1]

嚴格定義

區間的定義可以推廣到任何全序集${\displaystyle T}$ 的子集${\displaystyle S}$ ，使得若${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 均屬於${\displaystyle S}$ ，且${\displaystyle x<z<y}$ ，則${\displaystyle z}$ 亦屬於${\displaystyle S}$ 。

特別重要的情況是當${\displaystyle T=\mathbb {R} }$ 。

${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的區間有以下十一種（${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ 為實數且${\displaystyle a<b}$ ）：

1. ${\displaystyle (a,b)=\{x\mid a<x<b\}}$ 
2. ${\displaystyle [a,b]=\{x\mid a\leq x\leq b\}}$ 
3. ${\displaystyle [a,b)=\{x\mid a\leq x<b\}}$ 
4. ${\displaystyle (a,b]=\{x\mid a<x\leq b\}}$ 
5. ${\displaystyle (a,\infty )=\{x\mid x>a\}}$ 
6. ${\displaystyle [a,\infty )=\{x\mid x\geq a\}}$ 
7. ${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\mid x<b\}}$ 
8. ${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\mid x\leq b\}}$ 
9. ${\displaystyle (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} }$ 自身，實數集
10. ${\displaystyle [a,a]=\{a\}}$ ，即單元素集合
11. ${\displaystyle \varnothing }$ ，即空集

1、5、7稱為開區間（因為它們是開集）；2、6、8、10稱為閉區間（因為它們是閉集）；3、4稱為半開區間、半閉區間或半開半閉區間；而9、11同時為開區間和閉區間，並非半開區間或半閉區間。

1、2、3、4、10、11為有界區間；5、6、7、8、9為無界區間；10為單點。

區間算術

區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算，在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。

${\displaystyle T\times S=\{x\mid {}}$ 屬於${\displaystyle T}$ 的某些${\displaystyle y}$ ，及屬於${\displaystyle S}$ 的某些${\displaystyle z}$ ，使得${\displaystyle x=y\times z\}}$ 

區間算術的基本運算是，對於實數線上的子集${\displaystyle [a,b]}$ 及${\displaystyle [c,d]}$ ：

${\displaystyle [a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]}$ 

${\displaystyle [a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]}$ 

${\displaystyle [a,b]\times [c,d]=[\min\{ac,ad,bc,bd\},\max\{ac,ad,bc,bd\}]}$ 

${\displaystyle {\frac {[a,b]}{[c,d]}}=\left[\min \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\},\max \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\}\right]}$ 

被一個包含零的區間除，在基礎區間算術上無定義。

加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律：集${\displaystyle X(Y+Z)}$ 是${\displaystyle XY+XZ}$ 的子集。

另一種寫法

在法国及其他一些欧洲国家，用${\displaystyle ][}$ 代替${\displaystyle ()}$ 來表示开区间，例如：

${\displaystyle \left]a,b\right[=\{x\mid a<x<b\}}$ 

${\displaystyle \left[a,b\right]=\{x\mid a\leq x\leq b\}}$ 

${\displaystyle \left[a,b\right[=\{x\mid a\leq x<b\}}$ 

${\displaystyle \left]a,b\right]=\{x\mid a<x\leq b\}}$ 

國際標準化組織編制的ISO 31-11也允許這種寫法^[2]。

另外，在小數點以逗號來表示的情況下，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替，例如將${\displaystyle [1,2.3]}$ 寫成${\displaystyle [1;2,\!3]}$ 。若只把小數點寫成逗號，就會變成${\displaystyle [1,2,\!3]}$ ，此時不易判斷究竟是${\displaystyle 1.2}$ 與${\displaystyle 3}$ 之間，還是${\displaystyle 1}$ 與${\displaystyle 2.3}$ 之間的閉區間。

參考

1. . encyclopediaofmath.org. Springer & The European Mathematical Society. [2021-05-18]. （原始内容存档于2014-12-26）. 
2. . ISO. [2021-05-18]. （原始内容存档于2021-05-18） （英语）.