开集

在數學上，特別是拓樸學中，開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合。

通常微積分的課程中，會借助歐式空間的距離去描述數列極限；直觀上，當 ${\displaystyle n}$ 越來越大時數列 ${\displaystyle x_{n}}$ 跟 ${\displaystyle a}$ 要多靠近有多靠近的時候，就說 ${\displaystyle a}$ 是數列 ${\displaystyle x_{n}}$ 的極限，但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」，開集就是來自於＂ ${\displaystyle a}$ 點附近＂這樣的直觀概念。類似的，函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。

满足${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$的点${\displaystyle (x,y)}$着蓝色。满足${\displaystyle x^{2}+y^{2}<r^{2}}$的点${\displaystyle (x,y)}$着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

定義

歐式空間

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 代表 ${\displaystyle n}$  維歐式空間， 而 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  中的任兩點距離（歐式距離）為

${\displaystyle d_{n}(x,\,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i})}^{2}}}}$ 

若 ${\displaystyle O\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$  ，且對所有 ${\displaystyle x\in O}$  ，存在一个 ${\displaystyle r>0}$  ，使得對所有 ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}}$  ，只要 ${\displaystyle d_{n}(x,\,y)<r}$  就有 ${\displaystyle y\in O}$  ，那麼就說子集${\displaystyle O}$ 是 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中的一個開集。也就是說，開集 ${\displaystyle O}$  裡的所有點 ${\displaystyle x}$  都有一個以 ${\displaystyle x}$  為中心的開球完全包含於 ${\displaystyle O}$  。

賦距空间

歐式空間的開集很容易地推廣到賦距空间${\displaystyle (M,d)}$ 中：

${\displaystyle U}$  是 ${\displaystyle M}$  的子集，若對所有 ${\displaystyle U}$  中的點 ${\displaystyle x}$ ，存在 ${\displaystyle r>0}$  使得對所有${\displaystyle M}$ 中的點 ${\displaystyle y}$ ，只要 ${\displaystyle d(x,y)<r}$  ，则 ${\displaystyle y}$  也屬於${\displaystyle U}$ ，或以正式的邏輯符號表述為

${\displaystyle (\forall x\in U)(\exists r>0)(\forall y\in M)\left[\,(d(x,\,y)<r)\Rightarrow (y\in U)\,\right]}$ 

則稱 ${\displaystyle U}$  是 ${\displaystyle M}$  的一個開集。也就是說，如果所有 ${\displaystyle U}$  中的点都有完全包含於 ${\displaystyle U}$  的開球，${\displaystyle U}$ 便是开集。

這的確推廣了歐式空間部分的定義，因為歐式距離和歐式空間本身就組成了一個賦距空間。

賦距空間的開集還會有以下的性質：

定理：

若 ${\displaystyle (M,d)}$  為賦距空間，則

(1) ${\displaystyle \varnothing }$  和 ${\displaystyle M}$  也是 ${\displaystyle M}$  的開集。

(2) 若 ${\displaystyle A}$  和 ${\displaystyle B}$  都是 ${\displaystyle M}$  的開集，則 ${\displaystyle A\cap B}$  也是 ${\displaystyle M}$  的開集。

(3) ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}$  （ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  是 ${\displaystyle M}$  的一個子集族），若所有 ${\displaystyle O\in {\mathcal {F}}}$  都是開集，則 ${\displaystyle \bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}F}$  也是 ${\displaystyle M}$  的開集。（也就是說，任意數量開集的聯集也是開集）

關於上面性質的證明，(1)是非常顯然的；(2)只需取每一點比較小的開球即可^{[註 1]}；(3)根據聯集的定義也是非常顯然的^{[註 2]}。

事實上這些性質這就是拓扑空间定義的動機。

拓撲空間

開集是拓扑空间定義的基石；也就是從任意母集合 ${\displaystyle X}$  出發，再選取 ${\displaystyle X}$  的特定的子集族 ${\displaystyle \tau }$  ，規定 ${\displaystyle \tau }$  中的集合就是開集，这樣的子集族 ${\displaystyle \tau }$  被叫做 ${\displaystyle X}$  上的拓樸：

${\displaystyle X}$  為集合，若 ${\displaystyle \tau \subseteq {\mathcal {P}}(X)}$  滿足

(1) ${\displaystyle \varnothing ,\,X\in \tau }$ 

(2) 若 ${\displaystyle A,B\in \tau }$  則 ${\displaystyle A\cap B\in \tau }$ 。

(3) ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \tau }$  ，則 ${\displaystyle \bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}F\in \tau }$  。（也就是說，任意數量開集的聯集也是開集）

則稱 ${\displaystyle \tau }$  為 ${\displaystyle X}$  上的拓樸，並稱 ${\displaystyle (X,\,\tau )}$  為一拓撲空間。任何 ${\displaystyle O\in \tau }$  被稱為開集。

根據上一節賦距空間的性質，取 ${\displaystyle \tau _{d}}$  為所有 ${\displaystyle M}$  的開集所構成的子集族，則顯然 ${\displaystyle (M,\,\tau _{d})}$  也是一拓撲空間。

例子

• 度量空间${\displaystyle (X,d)}$ 中，以点${\displaystyle x\in X}$ 为中心，${\displaystyle \varepsilon }$ 为半径的球体${\displaystyle B(x,\varepsilon )}$ 为开集，任意的开集${\displaystyle A}$ 包含以${\displaystyle x\in A}$ 为中心，充分小的${\displaystyle \varepsilon }$ 为半径的球体${\displaystyle B(x,\varepsilon )}$ 。
• 流形中的开集为子流形。

用处

开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此類概念，比如度量空间和一致空间）時，都會用到开集的概念。

拓扑空间X的每個子集A都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做A的内部。它可以通过取包含在A中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间X和Y，从X到Y的函数f是连续的，如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射，如果在X中的所有开集的像是Y中的开集。

实直线上的开集都是可数個不相交开区间的并集。

相关条目

• 拓扑空间
• 度量空间
• 闭集
• 闭开集

注释

1. 若 R > r，以 x 為中心半徑為 R 的開球包含於集合 A；以 x 為中心半徑為 r 的開球包含於集合 B；，那以 x 為中心半徑為r的開球一定包含於A ∩ B。
2. 開集直觀上意為每點都有個開球完全在此集合内，而任意個開集的聯集仍保持上述性質。