函數極限

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在數學中，函數極限（英語：Limit of a function）是微積分的一個基本概念。它描述函數在接近某一給定自變量時的特徵。函數 ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle a}$ 的極限為 ${\displaystyle L}$ ，直觀上意為當 ${\displaystyle x}$ 無限接近 ${\displaystyle a}$ 時，${\displaystyle f(x)}$ 便無限接近 ${\displaystyle L}$ 。

${\displaystyle x}$	${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

上表所示函數的圖形，請注意在${\displaystyle x=0}$處取不到值。因為被零除，所以在這一點函數沒有意義。

儘管函數${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$的定義域中不包括“0”，但當${\displaystyle x}$無限接近於零時，${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$就無限接近於 1，換句話說，${\displaystyle x}$接近於零時，${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$的極限是 1。

正式定義

動機

如果取 ${\displaystyle \delta }$  為＂ ${\displaystyle x}$  與 ${\displaystyle a}$  差距的上限＂；類似地，取 ${\displaystyle \epsilon }$  為＂ ${\displaystyle f(x)}$  與 ${\displaystyle L}$  差距的上限＂，那根據直觀，可以將函數極限定義為：

若對所有的 ${\displaystyle \delta >0}$  ，存在 ${\displaystyle 0<\epsilon \leq \delta }$ ，使得對所有的 ${\displaystyle x\in D_{f}}$  ，只要 ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$  就有 ${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$ 

其中 ${\displaystyle \epsilon \leq \delta }$  是要確保 ${\displaystyle \delta }$  越來越小時， ${\displaystyle \epsilon }$  也會越來越小； ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$  是為了凸顯 ${\displaystyle x}$  是逼近而非等於 ${\displaystyle a}$  ，但對應的 ${\displaystyle f(x)}$  是可以等於 ${\displaystyle L}$  的。

但對於实函数 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$  逼近 ${\displaystyle a=0}$  時，考慮到 ${\displaystyle \delta \geq 1}$  的部分；在 ${\displaystyle {\left|x-0\right|}^{2}<\delta ^{2}}$  下是沒有這樣的 ${\displaystyle \epsilon }$  使得 ${\displaystyle 0<\epsilon \leq \delta }$  且 ${\displaystyle \left|x^{2}-0\right|<\epsilon }$  的，但數值上 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$  的確在 ${\displaystyle a=0}$  時很靠近 ${\displaystyle 0}$  ，也就是 ${\displaystyle \epsilon \leq \delta }$  的部分侷限了定義能覆蓋的範圍。

上面的例子表明以 ${\displaystyle x}$  的變化去限制 ${\displaystyle f(x)}$  的變化通常是很困難的，但如果反過來從 ${\displaystyle \epsilon }$  出發，去找怎樣的 ${\displaystyle x}$  會讓 ${\displaystyle f(x)}$  與 ${\displaystyle L}$  的差距小於 ${\displaystyle \epsilon }$  ，也就是從＂若對所有的 ${\displaystyle \epsilon >0}$  存在 ${\displaystyle \delta >0}$  ＂出發的話，顯然上面 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ 的例子只要取 ${\displaystyle \delta ={\sqrt {\epsilon }}}$  即可；而且在這個定義被滿足的情況下，若進一步取 ${\displaystyle \epsilon }$  和 ${\displaystyle \delta }$  的最小值為 ${\displaystyle x}$  與 ${\displaystyle a}$  差距的上限，還是會有 ${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$  ，這樣就可以用 ${\displaystyle \epsilon }$  控制 ${\displaystyle x}$  的變化，而滿足＂ ${\displaystyle x}$  趨近於 ${\displaystyle a}$  時 ${\displaystyle f(x)}$  趨近於 ${\displaystyle L}$  ＂的直觀想法。

但實際上無法確保對所有 ${\displaystyle \delta >0}$ ，都有 ${\displaystyle x\in D_{f}}$  使得 ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$  ，所以定義函數極限之前必須要求 ${\displaystyle a}$  為 ${\displaystyle D_{f}}$  的极限点。但大部分的情況會退而求其次的假設存在 ${\displaystyle r>0}$  使得 ${\displaystyle f(x)}$  在 ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<r}$  都有定義，也就是存在 ${\displaystyle a}$  的去心鄰域使 ${\displaystyle f(x)}$  都有定義，這樣的話 ${\displaystyle a}$  會自動成為 ${\displaystyle D_{f}}$  的極限點。

自變量趨於有限值時函數的極限

${\displaystyle f}$  為实函数， ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$  為 ${\displaystyle D_{f}}$  的極限點且 ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$  ，若＂對所有的${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在${\displaystyle \delta >0}$ ，使得對所有的 ${\displaystyle x\in D_{f}}$  只要 ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$  就有 ${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$  ＂，或以正式的邏輯符號表述為

${\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D_{f})[\,(\,0<\left|x-a\right|<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]}$ 

則以 ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$  表示，稱 ${\displaystyle L}$  為實函數 ${\displaystyle f}$  於 ${\displaystyle a}$  的極限。

自變量趨於無窮大時函數的極限

由於＂無窮大＂不能直接定義成定義域 ${\displaystyle D_{f}}$  的極限點，可以退而求其次假設＂對所有的 ${\displaystyle \delta >0}$  存在 ${\displaystyle x\in D_{f}}$  使得 ${\displaystyle x>\delta }$  ＂。也就是直觀上可以用定義域 ${\displaystyle D_{f}}$  裡的點去逼近＂無窮大＂。那在這種條件下，${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$ ，且若＂對所有 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在 ${\displaystyle \delta >0}$ ，使得對所有的 ${\displaystyle x\in D_{f}}$  只要 ${\displaystyle x>\delta }$  時，有${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$  ＂，或以正式的邏輯符號表述為

${\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D_{f})[\,(\,x>\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]}$ 

則稱 ${\displaystyle L}$  為實函數 ${\displaystyle f}$  於正無窮大（ ${\displaystyle \infty }$  ）的極限，記作 ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L}$  類似的，若假設＂對所有的 ${\displaystyle \delta <0}$  存在 ${\displaystyle x\in D_{f}}$  使得 ${\displaystyle x<\delta }$  ＂，那在這種條件下，${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$ ，且若＂對所有 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在 ${\displaystyle \delta <0}$ ，使得對所有的 ${\displaystyle x\in D_{f}}$  只要 ${\displaystyle x<\delta }$  時，有${\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }$  ＂，或以正式的邏輯符號表述為

${\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta <0)(\forall x\in D_{f})[\,(\,x<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]}$ 

則稱 ${\displaystyle L}$  為實函數 ${\displaystyle f}$  於負無窮大（ ${\displaystyle -\infty }$  ）的極限，記作${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L}$ 

制限極限

直觀上來講，從數線左邊逼近或右邊逼近應該會得到一樣的極限，為了把這個概念推廣，需要函數限制的極限（也就是縮小定義域後的極限）：

定理

若 ${\displaystyle A\cup B=D_{f}}$  且 ${\displaystyle a}$  同時為 ${\displaystyle A}$  和 ${\displaystyle B}$  的极限点，則

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$ 

等價於

${\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{A}(x)=L}$  且 ${\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{B}(x)=L}$ 

上述定理的證明只須注意到 ${\displaystyle a}$  也必為 ${\displaystyle D_{f}}$  的極限點，然後把函數極限的定義展開，考慮到 ${\displaystyle A\cup B=D_{f}}$  ，還有對 ${\displaystyle x\in A}$  取 ${\displaystyle \delta _{A}}$  的和 ${\displaystyle x\in B}$  取的 ${\displaystyle \delta _{B}}$  ，那只要取 ${\displaystyle \delta }$  為 ${\displaystyle \delta _{A}}$  和 ${\displaystyle \delta _{B}}$  的最小值，對所有 ${\displaystyle x\in D_{f}}$  就有 ${\displaystyle (\,0<\left|x-a\right|<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)}$  ；反過來由原函數 ${\displaystyle f}$  推出 ${\displaystyle f|_{A}}$  和 ${\displaystyle f|_{B}}$  的狀況是非常顯然的。

左右極限

若取

${\displaystyle A={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\geq a{\big \}}}$ 

${\displaystyle B={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\leq a{\big \}}}$ 

如果假設 ${\displaystyle a}$  同時為 ${\displaystyle A}$  和 ${\displaystyle B}$  的极限点，那 ${\displaystyle A}$  和 ${\displaystyle B}$  顯然符合上面定理的要求的，而這時

${\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{A}(x)=L}$ 

這個表達式會被別稱為＂ ${\displaystyle L}$  是實函數 ${\displaystyle f}$  於 ${\displaystyle a}$  的右極限＂，也可以用 ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=L}$  表示。

類似的

${\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{B}(x)=L}$ 

這個表達式會被別稱為＂ ${\displaystyle L}$  是實函數 ${\displaystyle f}$  於 ${\displaystyle a}$  的左極限＂，也可以用 ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L}$  表示。

常用公式

有理函數

以下公式中，${\displaystyle n>0,a>1}$ 。

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x^{n}}}=0}$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{a^{x}}}=0}$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty }$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .}$ 

無理函數

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=1}$ 
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}$ 

三角函數

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sin x}{x}}=0}$ 

指數函數

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e}$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1}$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1}$ 

對數函數

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty }$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\ln x=+\infty }$ 

參考