实函数

实函数（Real function），指定义域和值域均为实数集的子集的函数。實函數的特性之一是可以在坐標平面上畫出圖形。

定義

一個實函數 f 是一個把實數（一般以 x 表示）映射到另一實數（函數的值，一般以 f(x) 表示）的函數。換句話說，實函數是一個函數 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ，當中 ${\displaystyle X}$  是 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  一個包含至少一個開集的子集（可以等於 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ）。

定義於所有非負實數的平方根函數便是一個例子：${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ，當中 ${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}}$  是所有非負實數的集合及對所有 ${\displaystyle x\in X}$ ，${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ 。

定義域

一個實函數的定義域未必總是明確寫出。對任一定義域為 X 的實函數 f 和任一 X 的子集 Y，可定義 f 對 Y 的限制函數 f|_Y。其定義域為 Y 而對所有 Y 的元素，函數的取值維持不變。若 Y 是 X 的真子集，這兩個函數理論上並不相同，但往往可將兩者視為等同。

相反，有時函數的定義域可透過解析延拓或利用函數的連續性擴大。由此可見，明確指出實函數的未必有明顯價值。

像與值域

函數 f 的值域是指當 x 可取定義域內任何值時，f(x) 所有可能取值的集合。若 f 是連續實函數而其定義域是一個區間，那麼它的值域也會是一個區間（除非 f 是常數函數，此時其值域將是一點）。

對任何實數 y，方程式 y=f(x) 所有實數解的集合稱為 y 的原像。

代數結構

實函數之間的運算可如下定義：

• 對任意實數 r 及實函數 f，可定義兩者的積 ${\displaystyle rf:x\mapsto rf(x)}$ 。若 r 不等於 0，則此函數的定義域與 f 相同。
• 對任何兩個實函數 f 和 g，可定義兩者的和 ${\displaystyle f+g:x\mapsto f(x)+g(x)}$  及積 ${\displaystyle fg:x\mapsto f(x)g(x)}$ 。兩者的定義域均為 f 和 g 的定義域的交集。

由此，所有定義於全部實數和所有定義於某一特定區間的實函數分別組成 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  上的結合代數（也因此組成一個向量空間），其中加法和乘法單位元分別為常數函數 ${\displaystyle 0_{f}:x\mapsto 0}$  及 ${\displaystyle 1_{f}:x\mapsto 1}$ 。

雖然對任意實函數 f 可定義 ${\displaystyle 1/f:x\mapsto 1/f(x)}$ ，但由於此函數的定義域不包含所有使得 f(x)=0 的 x 值，它不一定等於 f 的定義域，所以上述代數結構不構成一個體。

參見

• 實分析