交集

数学上，两个集合${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的交集是含有所有既属于${\displaystyle A}$又属于${\displaystyle B}$的元素，而没有其他元素的集合。

基本定义

 

A和${\displaystyle B}$ 的交集

${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 的交集写作「${\displaystyle A\cap B}$ 」。形式上：

${\displaystyle x}$ 属于${\displaystyle A\cap B}$ 当且仅当

• ${\displaystyle x}$ 属于${\displaystyle A}$ 且${\displaystyle x}$ 属于${\displaystyle B}$ 。

例如：集合${\displaystyle \{1,2,3\}}$ 和${\displaystyle \{2,3,4\}}$ 的交集为${\displaystyle \{2,3\}}$ 。数字${\displaystyle 9}$ 不属于素数集合${\displaystyle \{2,3,5,7,11,\ldots \}}$ 和奇数集合${\displaystyle \{1,3,5,7,9,11,\ldots \}}$ 的交集。

若两个集合${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 的交集为空，就是说它们彼此没有公共元素，则他们不相交，写作：${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ 。例如集合${\displaystyle \{1,2\}}$ 和${\displaystyle \{3,4\}}$ 不相交，写作${\displaystyle \{1,2\}\cap \{3,4\}=\varnothing }$ 。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合${\displaystyle A,B}$ ，${\displaystyle C}$ 和${\displaystyle D}$ 的交集为${\displaystyle A\cap B\cap C\cap D=A\cap (B\cap (C\cap D))}$ 。交集运算满足结合律。即：

${\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C}$ 

任意交集

以上定義可推廣到任意非空集合的集合的交集。若 M 是一个非空集合，其元素本身也是集合，则${\displaystyle x}$ 属于 M 的交集，当且仅当对任意 M 的元素${\displaystyle A,x}$ 属于${\displaystyle A}$ 。符号表示为：

${\displaystyle \left(x\in \bigcap \mathbf {M} \right)\leftrightarrow \left(\forall A\in \mathbf {M} ,x\in A\right)}$ 。

这一概念也蕴涵了前述的定義，例如，${\displaystyle A\cap B\cap C}$ 是集合${\displaystyle {A,B,C}}$ 的交集。 （若 M 为空集，有时候談論它的交集也是有意義的，请见空交集。）

这一概念的表示符號有多種。 集合论者有时用${\displaystyle \bigcap M}$ ，有时用${\displaystyle \bigcap _{A\in M}A}$ 。后一种写法可以一般化为${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}}$ ，表示集合${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$ 的交集。这里${\displaystyle I}$ 非空，而對於每個${\displaystyle I}$ 裡的${\displaystyle i,A_{i}}$ 是一个集合。

当索引集${\displaystyle I}$ 为自然数集合时，这种符号表示与无限序列相类似：

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ 

为了排版方便，上述符号也可以写成"${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots }$ "，儘管嚴格說來，像${\displaystyle A_{1}\cap (A_{2}\cap (A_{3}\cap \ldots }$ 這樣的寫法是無意義的。（这个例子是可数个集合的交集，相當常用，可以参看${\displaystyle \sigma }$ -代数條目中的例子。）

最后，注意当符号${\displaystyle \cap }$ 写在其他符号之前，而不是之间的时候，需要写得大一号。（在HTML中，可以使用字体⋂，或者尝试∩。）

参见

• 朴素集合论
• 并集
• 补集
• 对称差