并集

在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集^[1]，是这些集合的所有元素构成的集合，而不包含其他元素。

A和B的并集

基本定义

若${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 是集合，则${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 并集是有所有${\displaystyle A}$ 的元素和所有${\displaystyle B}$ 的元素，而没有其他元素的集合。${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 的并集通常写作"${\displaystyle A\cup B}$ "。形式上：

${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle A\cup B}$ 的元素，当且仅当

• ${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle A}$ 的元素，或
• ${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle B}$ 的元素。

举例： 集合${\displaystyle \{1,2,3\}}$ 和${\displaystyle \{2,3,4\}}$ 的并集是${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$ 。数${\displaystyle 9}$ 不属于素数集合${\displaystyle \{2,3,5,7,11,\ldots \}}$ 和偶数集合${\displaystyle \{2,4,6,8,10,\ldots \}}$ 的并集，因为${\displaystyle 9}$ 既不是素数，也不是偶数。

更通常的，多个集合的并集可以这样定义： 例如，${\displaystyle A,B}$ 和${\displaystyle C}$ 的并集含有所有${\displaystyle A}$ 的元素，所有${\displaystyle B}$ 的元素和所有${\displaystyle C}$ 的元素，而没有其他元素。形式上：

${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle A\cup B\cup C}$ 的元素，当且仅当${\displaystyle x}$ 属于${\displaystyle A}$ 或${\displaystyle x}$ 属于${\displaystyle B}$ 或${\displaystyle x}$ 属于${\displaystyle C}$ 。

代数性质

二元并集（两个集合的并集）是一种结合运算，即

${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C}$ 。事实上，${\displaystyle A\cup B\cup C}$ 也等于这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。

相似的，并集运算满足交换律，即集合的顺序任意。

空集是并集运算的单位元。即${\displaystyle \varnothing \cup A=A}$ ，对任意集合${\displaystyle A}$ 。可以将空集当作零个集合的并集。

结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔环。

无限并集

最普遍的概念是：任意集合的并集。若 M 是一个集合的集合，当且仅当存在${\displaystyle M}$ 的元素${\displaystyle A}$ 满足${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle A}$ 的元素时, ${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle M}$ 的并集的元素。即：

${\displaystyle x\in \bigcup M\iff \exists A{\in }M,x\in A}$ 。

${\displaystyle M}$ 可以称作集合的搜集（collection of sets）或者集合空间（system of sets）^[2]， ${\displaystyle M}$ 的并集是一个集合，这就是公理集合论中的并集公理。

例如：${\displaystyle A\cup B\cup C}$ 是集合${\displaystyle \{A,B,C\}}$ 的并集。同时，若 ${\displaystyle M}$ 是空集， ${\displaystyle M}$ 的并集也是空集。有限并集的概念可以推广到无限并集。

上述概念有多种表示方法：

集合论者简单地写

${\displaystyle \bigcup M}$ ，

而大多数人会这样写

${\displaystyle \bigcup _{A\in M}A}$ 。

后一种写法可以推广为

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$ ，

表示集合${\displaystyle \{A_{i}\ :\ i\in I\}\ }$ 的并集。这里${\displaystyle I}$ 是一个集合，${\displaystyle A_{i}}$ 是一个${\displaystyle i}$ 属于${\displaystyle I}$ 的集合。

在索引集${\displaystyle I}$ 是自然数集合的情况下，上述表示和求和类似：

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ 。

同样，也可以写作"${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \ldots }$ ". （这是一个可数的集合的并集的例子，在数学分析中非常普遍；参见${\displaystyle \sigma }$  -代数）。最后，要注意的是，当符号"${\displaystyle \cup }$ "放在其他符号之前，而不是之间的时候，要写的大一些。

交集在无限并集中满足分配律，即

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\left(A\cap B_{i}\right)=A\cap \bigcup _{i\in I}B_{i}}$ 。

结合无限并集和无限交集的概念，可得

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}A_{i,j}\right)\subseteq \bigcap _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}A_{i,j}\right)}$ 。

参考

• 朴素集合论
• 交集
• 补集
• 对称差
• 不交并
• 布尔逻辑

参考文献

1. 程极泰. 集合论. 应用数学丛书 第一版. 国防工业出版社. 1985: 14. 15034.2766. 
2. Karel Hrbacek, Thomas Jech. Introduction to Set Theory 3rd. Marcel Dekker, Inc. 1999: 9. ISBN 0-8247-7915-0.