交換律

交換律（英語：Commutative property）是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才得到正式的定义^[1][2]。

一個表示加法（ 3 + 2 = 2 + 3 ）的交換律的例子

一般用法

交換律是一個和二元運算及函數有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。

在群論和集合論中，許多的代數結構被稱做是可交換的，若其中的運算域滿足交換律。在數學分析和線性代數中，一些知名的運算（如實數及複數上的加法和乘法）的交換律會經常被用於（或假定存在於）證明之中。^[3][4][5]

數學定義

「可交換」一詞被使用於如下幾個相關的概念中^[6][7]：

1. 在集合 ${\displaystyle S}$  的一二元運算 ${\displaystyle *}$  被稱之為「可交換」的，若：

${\displaystyle \forall x,y\in S,x*y=y*x}$ 

• 一個不滿足上述性質的運算則稱之為「不可交換」的。

2. 若稱 ${\displaystyle x}$  在 ${\displaystyle *}$  下和 ${\displaystyle y}$  「可交換」，即表示：

${\displaystyle x*y=y*x}$ 

3. 一二元函數${\displaystyle f:A\times A\to B}$ 被稱之為「可交換」的，若：

${\displaystyle \forall x,y\in A,f(x,y)=f(y,x)}$ .

歷史

 

Commutative這一詞第一個已知的應用是在1814年的一本法國期刊上

對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人用乘法的交換律來簡化乘積的計算。^[8][9]且知歐幾里得在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。^[10]對交換律形式上的應用產生於18世紀末19世紀初，那時數學家開始在研究函數的理論。今日，交換律已被普遍認知，且在大多數的數學分支中被當做基本性質來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數學教程中被教導。

第一個使用「可交換（commutative）」一詞的是 Francois Servois 於1814年寫下的筆記^[11][12]，這一詞在筆記中被用來指有著現在稱之為交換律的函數。這一詞首次出現於英語中的是在1844年的英國皇家學會哲學彙刊中。^[11]

相關性質

 

顯示加法函數對稱性的圖

結合律

主条目：結合律

結合律和交換律密切相關著。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地，交換律則是指運算元的順序不會影響其最終結果的性質。

對稱

主条目：對稱

對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運算子寫成一個二元函數，則此一函數會對 ${\displaystyle y=x}$  這條線對稱。舉例來說，若設一函數 ${\displaystyle f}$  來表示加法（一可交換運算），所以 ${\displaystyle f(x,y)=x+y}$  ，也因此 ${\displaystyle f}$  會是個如右圖所見的對稱函數。

例子

日常生活中的可交換運算

• 洗一雙鞋子可類比為一可交換運算，因為不論是左邊的鞋子先洗，還是右邊的鞋子先洗，最終的結果（兩隻鞋子都洗好）是一樣的。
• 成語「朝三暮四」也可看做是可交換運算的一個例子。

數學中的可交換運算

 

顯現出乘法 ( ${\displaystyle 5\times 3=3\times 5}$  ) 的交換律的一個例子

兩個廣為人知的可交換二元運算的例子為^[6]：

• 實數的加法

${\displaystyle y+z=z+y\quad \forall y,z\in \mathbb {R} }$ 

例如， ${\displaystyle 4+5=5+4}$  ，兩個表示式都等於 9 。

• 實數的乘法

${\displaystyle yz=zy\quad \forall y,z\in \mathbb {R} }$ 

例如， ${\displaystyle 3\times 5=5\times 3}$  ，兩者都等於 15 。

• 更多可交換二元運算的例子包括複數的乘法、向量的加法、和集合的交集與聯集。

日常生活中的不可交換運算

 

串接（將字串連在一起的行為）是個不可交換運算。

• 洗衣和乾衣可類比成不可交換運算，因為先乾衣再洗衣和先洗衣再乾衣兩者會得出很不同的結果來。
• 魔術方塊是不可交換的。例如，將正面順時針扭轉，頂面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉（FUF'），並不會得出如將正面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉，最後再將頂面順時針扭轉（FF'U）一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究於群論中。

數學中的不可交換運算

一些不可交換二元運算^[13]有：

• 減法： ${\displaystyle 0-1\neq 1-0}$  ，不過可將其減法符號轉換成加上其相反數，即可使用交換律。
• 除法： ${\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}$ ，可將除法轉換成乘上其倒數以使用交換律。
• 矩陣乘法：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}$ 

數學結構與交換律

• 阿貝爾群是一個群運算為可交換的群。^[4]
• 交換環是一個乘法為可交換的環。（環中的加法依定義總會是可交換的。）^[14]
• 域的加法與乘法都是可交換的。^[15]
• 中心是一個群最大的可交換子集。^[16]

註記

1. Cabillón & Miller，Commutative and Distributive
2. Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin (编). . Oxford University Press. 2011: 4 [2021-07-13]. ISBN 9780191627941. （原始内容存档于2021-07-13）. 
3. Axler, p.2
4. Gallian, p.34
5. p. 26,87
6. Krowne, p.1
7. Weisstein, Commute, p.1
8. Lumpkin, p.11
9. Gay and Shute, p.?
10. O'Conner and Robertson, Real Numbers
11. Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
12. O'Conner and Robertson, Servois
13. Yark, p.1
14. Gallian p.236
15. Gallian p.250
16. Gallian p.65

參考資料

書籍

• Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. 1997. ISBN 978-0-387-98258-8. 

Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.

• Goodman, Frederick. Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. 2003. ISBN 978-0-13-067342-8. 

Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.

• Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra, 6e. 2006. ISBN 978-0-618-51471-7. 

Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

文章

• Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.

Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.

• Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2

Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

線上資源

• Hazewinkel, Michiel (编), Commutativity, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Krowne, Aaron, Commutative at PlanetMath., Accessed 2007-08-08.

  Definition of commutativity and examples of commutative operations

• 埃里克·韦斯坦因. Commute. MathWorld. , Accessed 2007-08-08.

  Explanation of the term commute

• . [2008-02-21]. （原始内容存档于2010-11-26）.  Examples of non-commutative operations at PlanetMath., Accessed 2007-08-08

  Examples proving some noncommutative operations

• O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. . MacTutor. [2007-08-08]. （原始内容存档于2009-09-18）. 

  Article giving the history of the real numbers

• Cabillón, Julio; Miller, Jeff. . [2008-11-22]. （原始内容存档于2011-05-01）. 

  Page covering the earliest uses of mathematical terms

• O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. . MacTutor. [2007-08-08]. （原始内容存档于2009-09-02）. 

  Biography of Francois Servois, who first used the term

另見

• 反交換律
• 二元運算
• 交換子集合
• 交換子
• 分配律
• 結合律
• 遞移關係