代数, ring, 是由集合r和定义于其上的两种二元运算, 记作, displaystyle, displaystyle, cdot, 常被简称为加法和乘法, 但与一般所说的實數加法和乘法不同, 所构成的, 符合一些性质, 具体见下, 的代数结构, 环的定義类似于交换群, 只不过在原来, 的基础上又增添另一种运算, 注意我们这里所说的, 一般不是我们所熟知的四则运算加法和乘法, 在抽象代数中, 研究环的分支为环论, 目录, 定义, 基本性质, 环的相关概念, 特殊的环, 例子, 环的理想, 示例, 基本性质, 相关. 环 Ring 是由集合R和定义于其上的两种二元运算 记作 displaystyle 和 displaystyle cdot 常被简称为加法和乘法 但与一般所说的實數加法和乘法不同 所构成的 符合一些性质 具体见下 的代数结构 环的定義类似于交换群 只不过在原来 的基础上又增添另一种运算 注意我们这里所说的 與 一般不是我们所熟知的四则运算加法和乘法 在抽象代数中 研究环的分支为环论 目录 1 定义 2 基本性质 3 环的相关概念 3 1 特殊的环 4 例子 5 环的理想 5 1 示例 5 2 基本性质 5 3 相关概念 6 有关环的其它概念定义 编辑R displaystyle R 為集合 R R R displaystyle R times R to R 和 R R R displaystyle circ R times R to R 為定義於其上的二元運算 一種二變數函數 以下依照二元運算的慣例 將運算結果 a b displaystyle a b 和 a b displaystyle circ a b 分別簡記為 a b displaystyle a b 和 a b displaystyle a circ b R displaystyle R circ 被稱為環 若它滿足 R displaystyle R 為交換群 即 結合律 對所有的 a b c R displaystyle a b c in R 有 a b c a b c displaystyle a b c a b c 單位元 存在 i R displaystyle i in R 對所有的 r R displaystyle r in R 有 i r r i r displaystyle i r r i r 可由上面的性質證明這樣的 i displaystyle i 是唯一的 這樣的 i displaystyle i 稱為加法單位元 反元素 對所有的 r R displaystyle r in R 存在 r R displaystyle r prime in R 使 r r r r 0 displaystyle r r prime r prime r 0 可以由上面的性質證明這樣的 r displaystyle r prime 是唯一的 通常簡記為 r 1 displaystyle r 1 並稱為 r displaystyle r 的加法反元素 交換律 對所有的 a b R displaystyle a b in R 有 a b b a displaystyle a b b a R displaystyle R circ 為幺半群 即 結合律 對所有的 a b c R displaystyle a b c in R 有 a b c a b c displaystyle a circ b circ c a circ b circ c 单位元 存在一个单位元e R displaystyle e in R 使得对于任意的a R displaystyle a in R 有a e e a a displaystyle a circ e e circ a a 乘法對于加法满足分配律 即對所有的 a b c R displaystyle a b c in R 有 a b c a b a c displaystyle a circ b c a circ b a circ c a b c a c b c displaystyle a b circ c a circ c b circ c 其中 displaystyle 常會被暱稱為加法 類似的 displaystyle circ 會被暱稱為乘法 因為取 R R displaystyle R mathbb R 實數系 displaystyle 為普通的實數加法且 displaystyle circ 為普通的實數乘法的話 R displaystyle R circ 顯然為環 而此時加法單位元顯然為實數 0 displaystyle 0 所以有時會偷懶的將一般環的加法單位元 i displaystyle i 簡寫為 0 displaystyle 0 所以慣例上仿造實數乘法把 a b displaystyle a circ b 簡寫為 a b displaystyle ab 而且因為實數乘法優先於實數加法 所以也會規定 a b c displaystyle a bc 是 a b c displaystyle a b circ c 的簡寫 此外還會仿造實數減法 會把 a b 1 displaystyle a b 1 簡寫為 a b displaystyle a b 基本性质 编辑 R displaystyle R circ 為環 則對所有 a b R displaystyle a b in R 有 I a 0 0 a 0 displaystyle a0 0a 0 證明 0 0 0 displaystyle 0 0 0 單位元 a 0 a 0 0 displaystyle a0 a 0 0 式1等號兩邊於左側同乘 a displaystyle a a 0 0 a 0 a 0 displaystyle a 0 0 a0 a0 分配律 a 0 a 0 a 0 displaystyle a0 a0 a0 式2 式3 a 0 a 0 a 0 1 a 0 a 0 1 displaystyle a0 a0 a0 1 a0 a0 1 式4等號兩邊於右側加 a 0 1 displaystyle a0 1 a 0 0 displaystyle a0 0 以反元素化簡式5 可調換 a displaystyle a 和 0 displaystyle 0 的順序 仿上證明 0 a 0 displaystyle 0a 0 displaystyle Box II a 1 b a b 1 a b 1 displaystyle a 1 b ab 1 ab 1 證明 a 1 b a b a b a 1 b a a 1 b 0 b displaystyle a 1 b ab ab a 1 b a a 1 b 0b 加法交換律 分配律 加法逆元素 0 b 0 a 1 b a b displaystyle 0b 0 a 1 b ab 上面的性質I 故 a 1 b displaystyle a 1 b 的確是 a b displaystyle ab 的加法反元素 仿上可證明 a b 1 displaystyle ab 1 也是 a b displaystyle ab 的加法反元素 displaystyle Box 环的相关概念 编辑特殊的环 编辑 幺环 若环R中 R 构成幺半群 即 1 R 使得 a R 有1 a a 1 a 则R称为幺环 此时幺半群 R 的幺元1 亦称为环R的幺元 交换环 若环R中 R 还满足交换律 从而构成交换半群 即 a b R 有ab ba 则R称为交换环 无零因子环 若R中没有非0的零因子 则称R为为无零因子环 此定义等价于以下任何一条 R 0 对乘法形成半群 R 0 对乘法封闭 R中非0元素的乘积非0 整环 无零因子的交换幺环称为整环 例 整数环 多项式环 唯一分解环 若整环R中每个非零非可逆元素都能唯一分解 称R是唯一分解环 除环 若环R是幺环 且R 0 对R上的乘法形成一个群 即 a R 0 a 1 R 0 使得a 1 a a a 1 1 则R称为除环 除环不一定是交换环 反例 四元数环 交换的除环是體 主理想环 每个理想都是主理想的整环称为主理想环 单环 若幺环R中的极大理想是零理想 则称R为单环 商环此章节尚無任何内容 質环此章节尚無任何内容 例子 编辑集环 非空集的集合R构成一个环 当且仅当它满足以下几个条件中任何一个 R对集合的并和差运算封闭 即 E F R E F R E F R R对集合的交和对称差运算封闭 即 E F R E F R E F R R对集合的交 差以及无交并运算封闭 这样得到的集环以交为乘法 对称差为加法 以空集为零元 并且由于 E R E E E E E 因此它还是布尔环 整数环是一个典型的交换且含单位环 有理数环 实数域 复数域都是交换的含单位元环 所有项的系数构成一个环A的多项式全体A X 是一个环 称为A上的多项式环 n为正整数 所有n n的实数矩阵构成一个环 环的理想 编辑主条目 理想 考虑环 R 依环的定义知 R 是阿贝尔群 集合I R 考虑以下条件 I 构成 R 的子群 i I r R 有i r I i I r R 有r i I 若I满足条件1 2则称I是R的右理想 若I满足条件1 3则称I是R的左理想 若I满足条件1 2 3 即I既是R的右理想 也是R的左理想 则称I为R的双边理想 简称理想 示例 编辑 整数环的理想 整数环Z只有形如 nZ 的理想 基本性质 编辑 在环中 左 右 双边 理想的和与交仍然是 左 右 双边 理想 在除环中 左 右 理想只有平凡 左 右 理想 对于环R的两个理想A B 记A B k 0 n a k b k a k A b k B displaystyle AB left sum k 0 n a k b k a k in A b k in B right 则由定义易知 若A是R的左理想 则AB是R的左理想 若B是R的右理想 则AB是R的右理想 若A是R的左理想 B是R的右理想 则AB是R的双边理想 相关概念 编辑 真 左 右 双边 理想 若R的 左 右 双边 理想I满足 I是R的真子集 I称为R的真 左 右 双边 理想 极大 左 右 双边 理想 环R及其真 左 右 双边 理想I I被称为R的极大 左 右 双边 理想 若不存在R的真 左 右 双边 理想J 使得I是J的真子集 若 I 是极大 左 右 理想 又是双边理想 则 I 是极大理想 极大双边理想不一定是极大 左 右 理想 生成理想 环R A R 定义 lt A gt RA AR RAR ZA 则易知 lt A gt 是环R的理想 并且 lt A gt 是R中所有包含子集A的理想的交 即 lt A gt 是R中包含子集A的最小理想 称 lt A gt 为由子集A生成的理想 A称为 lt A gt 的生成元集 当A是有限集时 lt A gt 称为R的有限生成理想 下面是生成理想的几种特殊情况 当R是交换环时 lt A gt RA ZA 当R是幺环时 lt A gt RAR 当R是交换幺环时 lt A gt RA 同一个理想 其生成元集可能不唯一 主理想 由环R中单个元素生成的理想称为R的主理想 即 设a R 则 lt a gt 称为R的主理想 素理想 真理想I被称为R的素理想 若 理想A B R AB I A I 或 B I 素环 若环R的零理想是素理想 则称R是素环 或质环 无零因子环是素环 在交换环R中 真理想 I 是素理想的充分且必要条件是 R I displaystyle R I 是素环 半素理想 环R的真理想I 若 理想A A2 I A I 则称 I 是环R的半素理想 半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想 因为素理想是半素理想 但半素理想未必是素理想 除环的零理想是极大理想 在有单位元的环中 如果零理想是其极大理想 称这种环是单环 除环是单环 域也是单环 反之则不对 即存在不是除环的单环 定理1 在整数环Z中 由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是 p是素数 定理2 设R是有单位元1的交换环 理想 I 是R的极大理想的充分且必要条件是 商环R I displaystyle R I 是域 定理3 设 I 是环R的左理想 则 I 是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 I 中的左理想J都有I J R displaystyle I J R 有关环的其它概念 编辑零因子 zero divisor 主条目 零因子设b是环中的非零元素 称a为左零因子 如果ab 0 同样可以定义右零因子 通称零因子 取自 https zh wikipedia org w index php title 环 代数 amp oldid 75452028, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,