商环, 在環論中, 商環, 或稱剩餘類環, 是環對一個理想的商結構, 目录, 定義, 例子, 性質, 文獻定義, 编辑設r, displaystyle, nbsp, 為一環, displaystyle, subset, nbsp, 為一雙邊理想, 定義下述等價關係, displaystyle, nbsp, 令r, displaystyle, nbsp, 為其等價類的集合, 其中的元素記作a, displaystyle, nbsp, 其中a, displaystyle, nbsp, 是該元素在r, displayst. 在環論中 商環 或稱剩餘類環 是環對一個理想的商結構 目录 1 定義 2 例子 3 性質 4 文獻定義 编辑設R displaystyle R nbsp 為一環 I R displaystyle I subset R nbsp 為一雙邊理想 定義下述等價關係 x y x y I displaystyle x sim y iff x y in I nbsp 令R I displaystyle R I nbsp 為其等價類的集合 其中的元素記作a I displaystyle a I nbsp 其中a displaystyle a nbsp 是該元素在R displaystyle R nbsp 上任一代表元 我們可以在R I displaystyle R I nbsp 上定義環結構 a I b I a b I displaystyle a I b I a b I nbsp a I b I a b I displaystyle a I cdot b I ab I nbsp 以上運算是明確定義的 在第二式中須用到I displaystyle I nbsp 是雙邊理想 集合R I displaystyle R I nbsp 配合上述運算稱作R displaystyle R nbsp 對I displaystyle I nbsp 的商環 根據定義 商映射R R I a a I displaystyle R rightarrow R I a mapsto a I nbsp 是滿的環同態 I displaystyle I nbsp 為此同態的核 如果R displaystyle R nbsp 含單位元1 displaystyle 1 nbsp 則1 I displaystyle 1 I nbsp 是R I displaystyle R I nbsp 的單位元 註 若條件弱化為I displaystyle I nbsp 是左 或右 理想 上述兩式仍可賦予集合R I displaystyle R I nbsp 左 或右 R displaystyle R nbsp 模結構 例子 编辑最平凡的例子是I 0 I R displaystyle I 0 I R nbsp 此時分別得到R 0 R R R 0 displaystyle R 0 R R R 0 nbsp 取R Z I n Z displaystyle R mathbb Z I n mathbb Z nbsp 商環Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z nbsp 可視為模運算的代數框架 其中的元素即模n displaystyle n nbsp 的剩餘類 商環是構造代數擴張的主要工具 例如取實係數多項式環R R X displaystyle R mathbb R X nbsp I X 2 1 R X displaystyle I X 2 1 mathbb R X nbsp 則商環R X X 2 1 displaystyle mathbb R X X 2 1 nbsp 與複數域C displaystyle mathbb C nbsp 同構 考慮映射f X X 2 1 f i displaystyle f X X 2 1 mapsto f i nbsp 一般而言 設F displaystyle F nbsp 為一個域 p X F X displaystyle p X in F X nbsp 為F displaystyle F nbsp 上的不可約多項式 則商環F X p X displaystyle F X p X nbsp 的意義在於抽象地在F displaystyle F nbsp 上加進p X displaystyle p X nbsp 的一個根 性質 编辑商環由下述泛性質唯一決定 至多差一個同構 設p R R I displaystyle pi R rightarrow R I nbsp 為商同態 對任何環同態ϕ R S displaystyle phi R rightarrow S nbsp 若 K e r ϕ I displaystyle mathrm Ker phi supset I nbsp 則存在唯一的同態ps R I S displaystyle psi R I rightarrow S nbsp 使得ps p ϕ displaystyle psi circ pi phi nbsp 事實上 若更設K e r ϕ 0 displaystyle mathrm Ker phi 0 nbsp 則ps R I S displaystyle psi R I rightarrow S nbsp 是單射 準此 R displaystyle R nbsp 的同態像無非是R displaystyle R nbsp 的商環 理想的性質常與其商環相關 例如當R displaystyle R nbsp 是交換含幺環時 I displaystyle I nbsp 是素理想 或極大理想 若且唯若R I displaystyle R I nbsp 是整環 或域 R displaystyle R nbsp 中包含I displaystyle I nbsp 的理想一一對應於R I displaystyle R I nbsp 中的所有理想 此對應由商映射的逆像給出 文獻 编辑Serge Lang Algebra 2002 Springer Verlag ISBN 0 387 95385 X 取自 https zh wikipedia org w index php title 商环 amp oldid 68297027, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,