^ 2.02.1(英文)Joseph J. Rotman. Advanced Modern Algebra. American Mathematical Society. 2010年8月. ISBN 978-0821847411.
七月 08, 2023
整环, 提示, 此条目的主题不是整数环, integral, domain, 又譯作整域, 是抽象代數中的一个概念, 指含乘法单位元的无零因子的交换环, 一般假设环中乘法单位元1不等于加法单位元0, 以除去平凡的环, displaystyle, 是整数环的抽象化, 它很好地继承了整数环的整除性质, 使得我们能够更好地研究整除理论, 也可以定义为理想, displaystyle, 是素理想的交换环, 或交换的无零因子环, 目录, 形式定义, 例子, 整除, 素元, 既约元, 参考资料形式定义, 编辑设, displa. 提示 此条目的主题不是整数环 整环 Integral domain 又譯作整域 是抽象代數中的一个概念 指含乘法单位元的无零因子的交换环 一般假设环中乘法单位元1不等于加法单位元0 以除去平凡的环 0 displaystyle 0 整环是整数环的抽象化 它很好地继承了整数环的整除性质 使得我们能够更好地研究整除理论 整环也可以定义为理想 0 displaystyle 0 是素理想的交换环 或交换的无零因子环 目录 1 形式定义 2 例子 3 整除 素元 既约元 4 参考资料形式定义 编辑设 R displaystyle left mathcal R times right 是一个交换环 存在e R displaystyle e in mathcal R e 0 displaystyle e neq 0 0为加法单位元 使得 a R a e e a a displaystyle forall a in mathcal R a times e e times a a 存在乘法单位元 并且对任意的a b R displaystyle a b in mathcal R 如果a b 0 displaystyle a times b 0 那么或者a 0 displaystyle a 0 或者b 0 displaystyle b 0 用数学方式表示为 a b R 2 a b 0 a 0 b 0 displaystyle forall a b in mathcal R 2 a times b 0 quad Rightarrow quad a 0 lor b 0 没有零因子 就称其为整环 1 19 定义中的无零因子性质也可以用环中乘法的消去律替代 如果a c b c displaystyle a times c b times c 并且c 0 displaystyle c neq 0 那么a b displaystyle a b 2 119 用数学方法表示就是 a b c R 3 a c b c c 0 a b displaystyle forall a b c in mathcal R 3 a times c b times c land c neq 0 quad Rightarrow quad a b 例子 编辑整环的代表性例子是整数环Z displaystyle mathbb Z Z displaystyle mathbb Z times 是一个交换环 并且乘法单位元1不等于加法单位0 最后 两个整数相乘等于0 则必然有其中一个等于0 多项式环是整环当且仅当其系数构成整环 比如整系数一元多项式环Z X displaystyle mathbb Z X 和实系数二元多项式环R X Y displaystyle mathbb R X Y 每个域都是整环 2 122 相对的 每个阿廷整环都是域 特别地 每个有限的整环都是有限域 整数环Z displaystyle mathbb Z 就是一个非阿廷整环不是域的例子 因为它有无穷递降的理想列 Z 2 Z 2 n Z 2 n 1 Z displaystyle mathbb Z supset 2 mathbb Z supset ldots supset 2 n mathbb Z supset 2 n 1 mathbb Z supset cdots 对每个整数n gt 0 displaystyle n gt 0 Z n Z displaystyle mathbb Z sqrt n mathbb Z 是实数域R displaystyle mathbb R 的子环 因此是整环 Z i n Z displaystyle mathbb Z i sqrt n mathbb Z 是复数域C displaystyle mathbb C 的子环 因此是整环 当n 1 displaystyle n 1 时 后者被称为高斯整数环 若R displaystyle mathcal R 是一个交换环 P displaystyle P 是R displaystyle mathcal R 的一个理想 那么商环R P displaystyle mathcal R P 是整环当且仅当P是素理想 由此可推出R displaystyle mathcal R 是整环当且仅当 0 R R displaystyle 0 mathcal R mathcal R 是素理想 整除 素元 既约元 编辑在整环上可以定义类似于整数环里的整除性质 a与b是R中的两个元素 定义a整除b或a是b的约数或b是a的倍数 当且仅当存在R中的一个元素x使得ax b 整除关系满足传递性 即a整除b b整除c推出a整除c a整除b 则a整除b的所有倍数 a的两个倍数的和与差仍是a的倍数 1的约数称为R的可逆元 可逆元整除所有元素 若a整除b并且b整除a 则称a与b相伴 a与b相伴当且仅当存在可逆元u使得au b 非可逆元q称为既约元 如果q不能写成两个非可逆元的乘积 如果p不是零元或可逆元 且对任意a b 如果p整除ab可推出p整除a或p整除b 则称p为素元 这两个定义是整数环中素数的推广 如果p是素元 那么p生成的主理想是素理想 每个素元都是既约元 但反过来则只有当R是唯一分解环才正确 参考资料 编辑 法文 Jean Fresnel Anneaux Hermann 2001 ISBN 2 7056 1447 8 2 0 2 1 英文 Joseph J Rotman Advanced Modern Algebra American Mathematical Society 2010年8月 ISBN 978 0821847411 取自 https zh wikipedia org w index php title 整环 amp oldid 68714695, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,