除法

数学中，尤其是在基本计算裏，除法可以看成是「乘法的反运算」，也可以理解为「重复的减法」。除法运算的本质就是「把参与运算的除数变为${\displaystyle 1}$，得出同比的被除数的值」。

將20個蘋果平均分成四等分（左上），每份有5個蘋果（右下），即${\displaystyle {{20}\div {4}}=5}$；亦可以說成，將20個蘋果每5個分成一份（右下），共可分成四等分（左上），此時可以表達為${\displaystyle {{20}\div {5}}=4}$

例如：${\displaystyle {{6}\div {3}}=2}$，就好像${\displaystyle {{{6}-{3}}-{3}}=0}$， ${\displaystyle {\begin{cases}6-3=3\\3-3=0\end{cases}}}$，${\displaystyle 6}$被${\displaystyle 3}$減了兩次後，就變成了${\displaystyle 0}$。

如果

${\displaystyle a\times b=c}$

而且${\displaystyle b}$不等于零，那么

${\displaystyle a=c\div b}$

其中，a称为商数，b称为除数，c称为被除数。

如果除式的商數（${\displaystyle a}$）必須是整數，则称为带餘除法，${\displaystyle a\times b}$与${\displaystyle c}$相差的数值，称为餘數（${\displaystyle d}$）。

${\displaystyle c\div b=a\dots d}$

這也意味著

${\displaystyle c=a\times b+d}$

在高等数学（包括在科学与工程学中）和计算机编程语言中，${\displaystyle c\div b}$写成${\displaystyle c/b}$。如果我们不需要知道确切值或者留待以后引用，这种形式也常常是称之为分数的最终形式。其中尋找商數的函數為${\displaystyle \operatorname {div} }$，尋找餘數的函數則為${\displaystyle \operatorname {mod} }$。

在大部分的非英语语言中，${\displaystyle c:b}$代表${\displaystyle c\div b}$的比，讀做c比b；${\displaystyle c/b}$則代表${\displaystyle c\div b}$的比值。用法请参照比例。

整除

整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数${\displaystyle a}$ 可以被自然数${\displaystyle b}$ 整除，是指${\displaystyle b}$ 是${\displaystyle a}$ 的因數，且a是b的整数倍数，也就是${\displaystyle a}$ 除以${\displaystyle b}$ 没有餘数。

${\displaystyle a\div b=q\dots 0}$ 

因數判別法可參照整除規則。

表示法

${\displaystyle b\mid a}$ 表示${\displaystyle b}$ 整除${\displaystyle a}$ ，即${\displaystyle a}$ 是${\displaystyle b}$ 的倍数，${\displaystyle b}$ 是${\displaystyle a}$ 的因数。

举例

${\displaystyle 15}$ 可以被${\displaystyle 5}$ 整除，记作${\displaystyle 5\mid 15}$ 。

${\displaystyle 20}$ 不能被${\displaystyle 6}$ 整除（因为餘数为${\displaystyle 2}$ ），记作${\displaystyle 6\nmid 20}$ 。在${\displaystyle \mid }$ 上加一条斜线即表示不整除。

除法计算

根据乘法表，两个整数可以用长除法（直式除法）笔算。如果被除数有分数部分（或者说时小数点），计算时将小数点带下来就可以；如果除数有小数点，将除数与被除数的小数点同时移位，直到除数没有小数点。

算盘也可以做除法运算。

長除法

長除法俗稱「長除」，適用於正式除法、小數除法、多項式除法（即因式分解）等較重視計算過程和商數的除法，過程中兼用了乘法和減法。

使用長除法計算${\displaystyle {{1260257}\div {37}}=34061}$ 的過程可以表示為：

 

${\displaystyle 1260257\div 37}$ 的演算過程

${\displaystyle {\begin{array}{l}37\ {\big )}\\\\\\\\\\\\\\\\\end{array}}\!\!\!\!\!{\begin{array}{r}34061\\\hline \ 1260257\\111\quad \quad \\\hline 150\quad \ \ \\148\quad \ \ \\\hline 225\ \ \\222\ \ \\\hline 37\\37\\\hline 0\\\end{array}}}$ 

短除法

短除法是長除法的簡化版本。在短除法裏，被除數放中央，旁以一L型符號表示除法，被除數左側為除數，下側為商，省去了長除法逐層計算的過程。

• 使用短除法計算${\displaystyle 3\div 7}$ 的近似值：

${\displaystyle {\begin{array}{r}7\ |\!{\underline {\,\ 3.00000000000000000\dots \ }}\\0.42857142857142857\dots \ \end{array}}}$ 

• 使用短除法計算${\displaystyle 420}$ 的質因數分解：

${\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\ }}\\2\ |\!{\underline {\,\ \ 210\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ 105\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 35\ }}\\7\ \end{array}}}$ 

${\displaystyle 420=2^{2}\times 3\times 5\times 7}$ 

• 使用短除法計算${\displaystyle 420,270}$ 的最大公因數及最小公倍數：

${\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\quad 270\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ \ 210\quad 135\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 70\quad \ \ 45\ }}\\14\quad \ \ \ \ 9\ \end{array}}}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}\gcd(420,270)=2\times 3\times 5=30\\\operatorname {lcm} (420,270)=2\times 3\times 5\times 14\times 9=3780\end{cases}}}$ 

多項式的除法

主条目：综合除法

和整数之间的带余除法类似，一元多项式之间也可以进行带余除法。可以证明，设有多项式${\displaystyle A}$ 和非零多项式${\displaystyle B}$ ，则存在唯一的多项式${\displaystyle Q}$ 和${\displaystyle R}$ ，满足：

${\displaystyle A=BQ+R}$ 

而多项式${\displaystyle R}$ 若非零多项式，則其冪次严格小于${\displaystyle B}$ 的冪次。

作为特例，如果要计算某个多项式${\displaystyle P}$ 除以一次多项式${\displaystyle X-a}$ 得到的餘多项式，可以直接将${\displaystyle a}$ 代入到多项式${\displaystyle P}$ 中。${\displaystyle P}$ 除以${\displaystyle X-a}$ 的餘多项式是${\displaystyle P(a)}$ 。

具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如，计算${\displaystyle X^{3}-12X^{2}-42}$ 除以${\displaystyle X-3}$ ，列式如下：

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \quad \;\,X^{2}\;-9X\quad -27\\\qquad \quad X-3{\overline {\vert X^{3}-12X^{2}+0X-42}}\\\;\;{\underline {\;\;X^{3}-\;\;3X^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9X^{2}+0X\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9X^{2}+27X}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27X-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27X+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}}$ 

因此，商式是${\displaystyle \ X^{2}-9X-27}$ ，餘式是${\displaystyle \ -123}$ 。

重要性質

通常不定义除以零这种形式。亦即當除以0 或分數的分母為0 時，該式或該數無意義。

参见

• 筹算除法
• 同餘
• 余数
• 带餘除法