除以零

在數學中，被除數的除數（分母）是零或將某數除以零，可表達為${\displaystyle {\frac {a}{0}}}$，${\displaystyle a}$是被除數。在算式中沒有意義，因為沒有數目，以零相乘（假設${\displaystyle a\neq 0}$），由於任何數字乘以零均等於零，因此除以零是一個沒有定義的值。此式是否成立端視其在如何的數學設定下計算。一般實數算術中，此式為無意義。在程序設計中，當遇上正整數除以零程序會中止，正如浮點數會出現無限大或NaN值的情況，而在Microsoft Excel及Openoffice或Libreoffice的Calc中，除以零會直接顯示#DIV/0! 。

除以0時計算器的錯誤

基本算術

基本算術中，除法指將一個集合中的物件分成若干等份。例如，${\displaystyle 10}$ 個蘋果平分給${\displaystyle 5}$ 人，每人可得${\displaystyle {\frac {10}{5}}=2}$ 個蘋果。同理，${\displaystyle 10}$ 個蘋果只分給${\displaystyle 1}$ 人，則其可獨得${\displaystyle {\frac {10}{1}}=10}$ 個蘋果。

若除以${\displaystyle 0}$ 又如何？若有${\displaystyle 10}$ 顆蘋果，無人（${\displaystyle 0}$ 解作沒有）來分，每「人」可得多少蘋果？問題本身是無意義的，因根本無人來，論每「人」可得多少，根本多餘。因此，${\displaystyle {\frac {10}{0}}}$ ，在基本算術中，是無意義或未下定義的。

另種解釋是將除法理解為不斷的減法。例如「${\displaystyle 13}$ 除以${\displaystyle 5}$ 」，換一種說法，${\displaystyle 13}$ 減去兩個${\displaystyle 5}$ ，餘下${\displaystyle 3}$ ，即被除數一直減去除數直至餘數數值低於除數，算式為${\displaystyle {\frac {13}{5}}=2}$ 餘數${\displaystyle 3}$ 。若某數除以零，就算不斷減去零，餘數也不可能小於除數，使得算式與無窮拉上關係，超出基本算術的範疇。此解釋也有一問題，即為無窮大乘以零仍是零。

早期嘗試

婆羅摩笈多（598–668年）的著作《婆羅摩曆算書（英语：Brahmasphutasiddhanta）》被視為最早討論零的數學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述並不正確，根據婆羅摩笈多所說，

“

一個正或負整數除以零，成為以零為分母的分數。零除以正或負整數是零或以零為分子、該正或負整數為分母的分數。零除以零是零。

”

830年，另一位數學家摩訶吠羅（英语：Mahāvīra (mathematician)）在其著作《Ganita Sara Samgraha》試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤，但不成功：

“

一數字除以零會維持不變。

”

婆什迦羅第二嘗試解決此問題，答案是讓${\displaystyle {\frac {n}{0}}=\infty }$ 。雖然此定義有一定道理，但會導致一个悖論：${\displaystyle 0\times \infty }$ 的结果可以是任意一个数，所以所有的数都是相同的。^[1]

在微積分和数学分析中，像${\displaystyle 0\times \infty }$ 或${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ 這一類極限稱為不定型。不定型是可以計算的，結果可能是任意数。

 

安卓手機計算器除以0顯示無限大

代數處理

若某數學系統遵從域的公理，則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作，即${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ 值是方程${\displaystyle bx=a}$ 中${\displaystyle x}$ 的解（若有的話）。若設${\displaystyle b=0}$ ，方程式${\displaystyle bx=a}$ 可寫成${\displaystyle 0\times x=a}$ 或直接${\displaystyle 0=a}$ 。因此，方程式${\displaystyle bx=a}$ 沒有解（当${\displaystyle a\neq 0}$ 时），但${\displaystyle x}$ 是任何數值也可解此方程（当${\displaystyle a=0}$ 时）。在各自情況下均沒有獨一無二的數值，所以${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ 未能下定義。

除以零的謬誤

在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明：${\displaystyle 2=1}$ 

式：

${\displaystyle 0a=0}$ 

試：

${\displaystyle a=1}$ ：正確

${\displaystyle a=2}$ ：正確

得出：

${\displaystyle 0\times 1=0\times 2}$ 

除以零得出

${\displaystyle {\frac {0}{0}}\times 1=2}$ 

簡化，得出：

${\displaystyle 1=2\,}$ 

以上謬論假設，某數除以0是容許的，並且${\displaystyle {\frac {0}{0}}=1}$ 。

另一个简洁的证明

設${\displaystyle a=b}$ ，則 $${\displaystyle a^{2}=ab}$$   兩邊同時减去${\displaystyle b^{2}}$ ，由平方差公式得 $${\displaystyle (a+b)(a-b)=b(a-b)}$$   兩邊除以${\displaystyle (a-b)}$ ， $${\displaystyle a+b=b}$$   故${\displaystyle a=0}$ 。

通过上面的過程，证明了一切数字等于${\displaystyle 0}$ 。此謬論是由於簡化的过程不正確，計算過程使用了「除以零」。

因為${\displaystyle (a-b)}$ 是零，所以不能夠把左右兩邊的${\displaystyle (a-b)}$ 刪去。

虛假的除法

在矩陣代數或線性代數中，可定義一種虛假的除法，設${\displaystyle {\frac {a}{b}}=ab^{+}}$ ，當中${\displaystyle b^{+}}$ 代表${\displaystyle b}$ 的虛構倒數。這樣，若${\displaystyle b^{-}}$ 存在，則${\displaystyle b^{+}=b^{-}}$ 。若${\displaystyle b=0}$ ，則${\displaystyle 0^{+}=0}$ ；參見广义逆。

數學分析

 

函數${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ 的圖像。當x趨向0，左極限和右極限分別趨向負無限及正無限。

扩展的实数轴

表面看來，可以藉着考慮隨着${\displaystyle b}$ 趨向${\displaystyle 0}$ 的${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ 來定義「除以零」。

對於任何正數${\displaystyle a}$ ，右極限是

${\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}={+}\infty }$ 

另一方面，左極限是

${\displaystyle \lim _{b\to 0^{-}}{a \over b}={-}\infty }$ 

由於左極限及右極限不相同，因此函數在${\displaystyle x=0}$ 的極限不存在，該點沒有定義。同樣地，若${\displaystyle a}$ 是負數，極限也不存在。

如果分子及分母均為零或趨向零，則可使用洛必達法則計算。

不定型極限

不定型（Indeterminate Form）的極限可透過四则运算或洛必達法則計算。

考慮函數${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-9}{x-3}}}$ 

如果直接代入${\displaystyle x=3}$ ，會得到零除以零，這是沒有意義的。

${\displaystyle f(3)={\frac {3^{2}-9}{3-3}}={\frac {0}{0}}}$ 

但透過約簡分子及分母，該點的極限是可以計算的。

${\displaystyle \lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-9}{x-3}}=\lim _{x\to 3}{\frac {(x+3)(x-3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3}x+3=6}$ 

此外，函數的極限可透過洛必達法則計算。

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ 

若隨着${\displaystyle x}$ 趨向${\displaystyle 0}$ ，${\displaystyle f(x)}$ 與${\displaystyle g(x)}$ 均趨向${\displaystyle 0}$ ，該極限可等於任何實數或無限，或者根本不存在，視乎${\displaystyle f}$ 及${\displaystyle g}$ 是何函數。

形式推算

運用形式推算（英语：formal calculation），正號、負號或沒有正負號因情況而定，除以零定義為：

${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{{\frac {1}{x}}={\frac {\lim \limits _{x\to 0}{1}}{\lim \limits _{x\to 0}{x}}}}=\infty .}$ 

黎曼球

集合${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ 為黎曼球（Riemann sphere），在複分析中相當重要。

计算机科学

不同程式語言下除以零的结果

程式語言	整数	浮点数
C语言	未定义行为，早期计算机可能崩潰；如果0是常量，可能导致编译警告。	无穷大或NaN
Java	抛出ArithmeticException异常	无穷大或NaN
JavaScript	不适用，JavaScript无整数类型	无穷大或NaN
Python	抛出ZeroDivisionError异常	抛出ZeroDivisionError异常；但是部分Python包提供的运算函数除外

在计算机中，除以零的结果根据编程语言、软硬件环境、数据类型、数值而不同。部分语言中，无论是整数还是浮点数，除以0均会产生异常，而在另一部分语言中，整数除以零会产生异常或未定义行为，而浮点数除以零的结果如下：

• 零与NaN除以零：NaN（注：NaN不等于NaN）
• 零与NaN以外的数除以符号相同的0（如1除以0）：正无穷大
• 零与NaN以外的数除以符号不同的0（如1除以-0、-1除以0）：负无穷大

注釋

1. Zero 互联网档案馆的，存档日期2008-12-04.

參考

• Patrick Suppes（英语：Patrick Suppes） 1957 (1999 Dover edition), Introduction to Logic, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.).

• Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin Books, NY, ISBN 0 14 02.9647 6 (pbk.).

• Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).

延伸閱讀

• Jakub Czajko (July 2004) "On Cantorian spacetime over number systems with division by zero", Chaos, Solitons and Fractals, volume 21, number 2, pages 261–271.

维基新闻中的相关報導：British computer scientist's new "nullity" idea provokes reaction from mathematicians

• Ben Goldacre. Maths Professor Divides By Zero, Says BBC. 2006-12-07 [2008-04-23]. （原始内容于2008-05-27）. 

參見

• 漸近線
• 0/0
• 引力奇點