無效證明

在數學裡，有著許多明顯矛盾的虛假證明存在。即使其證明是有缺陷的，其錯誤——通常是經過設計的——卻常是較難抓摸的。這些謬誤一般都儘止於好奇而已，但可以被用来顯示嚴謹在數學中的重要性。

大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形。此一錯誤為採一非單射的函數${\displaystyle f}$，以觀察對某些${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$，會有${\displaystyle f(x)=f(y)}$，來（錯誤地）做出${\displaystyle x=y}$的結論。零除數是此類錯誤的一特例；${\displaystyle f}$為將${\displaystyle x}$映射至${\displaystyle x\times 0}$的函數，而其錯誤的一步是起於將${\displaystyle x\times 0=y\times 0}$的等式做成${\displaystyle x=y}$的結論。相似地，下面證明了${\displaystyle 5=4}$的句子也是以函數${\displaystyle f(x)=x^{2}}$的同一種錯誤造成的。其錯誤的一步始於有某個${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$會使得${\displaystyle x^{2}=y^{2}}$的一正確申論，然後做出了${\displaystyle x=y}$的一錯誤結論。

算术例子

證明1是最大的正整數

• 假設最大的正整數不是${\displaystyle 1}$ ，而是${\displaystyle a}$ ，有${\displaystyle a>1}$ ；

• ${\displaystyle a>1>0}$ ，${\displaystyle a}$ 為正的，所以由${\displaystyle a>1}$ 得到${\displaystyle a\times a>a}$ ；

• 但是${\displaystyle a\times a}$ 還是正整數，可是沒有任何正整數比${\displaystyle a}$ 大，矛盾；

• 所以最大的正整數是1。

Q.E.D.

此一證明是無效的，因為最大的正整數不存在，因此不能如此假設。

證明-1等於1

• 由一等式開始

  ${\displaystyle -1=-1\,}$ 

• 將兩邊轉成假分數

  ${\displaystyle {\frac {-1}{1}}={\frac {1}{-1}}}$ 

• 將兩邊開方

  ${\displaystyle {\sqrt {\frac {-1}{1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}}$ 

• 其會等於

  ${\displaystyle {\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}}$ 

• 兩邊同乘${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ 以來消去分數

  ${\displaystyle {\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {1}}{\sqrt {1}}}$ 

• 但任一數的開方之平方會給出原本的數來，故

  ${\displaystyle -1=1\,}$ 

Q.E.D.

此一證明是無效的，因為負數的開方不是实数，${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{1}}}}$ 推出${\displaystyle {\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}}$ 是错误的（事實上，${\displaystyle {\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}=-i}$ ，${\displaystyle {\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}=i}$ ）。

證明1等於2

1.令${\displaystyle a=b\,}$ ，且${\displaystyle a\neq 0}$ 

2.將兩邊乘以a

${\displaystyle a^{2}=ab\,}$ 

3.將兩邊減掉${\displaystyle b^{2}\,}$ 

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}\,}$ 

4.將兩邊因式分解

${\displaystyle (a+b)(a-b)=b(a-b)\,}$ 

5.將兩邊除以${\displaystyle a-b\,}$ 

${\displaystyle a+b=b\,}$ 

6.因為${\displaystyle a=b\,}$ 因此

${\displaystyle b+b=b\,}$ 

7.簡化

${\displaystyle 2b=b\,}$ 

8.將兩邊除以b

${\displaystyle 2=1\,}$ 

Q.E.D.

這個證明的錯誤點在於第五步，${\displaystyle \,}$ 正因為a=b所以a-b等於零，而除以零是無效的。

證明4等於5

• 由一等式開始

  ${\displaystyle -20=-20\,}$ 

• 將等式兩邊以稍微不同但相等的方式表示

  ${\displaystyle 25-45=16-36\,}$ 

• 將兩邊做因式分解

  ${\displaystyle 5^{2}-5\times 9=4^{2}-4\times 9}$ 

• 將兩邊加上相同的數

  ${\displaystyle 5^{2}-5\times 9+{\frac {81}{4}}=4^{2}-4\times 9+{\frac {81}{4}}}$ 

• 將兩邊再做一次因式分解

  ${\displaystyle \left(5-{\frac {9}{2}}\right)^{2}=\left(4-{\frac {9}{2}}\right)^{2}}$ 

• 將兩邊開方

  ${\displaystyle 5-{\frac {9}{2}}=4-{\frac {9}{2}}}$ 

• 消去相同的項

  ${\displaystyle 5=4\,}$ 

Q.E.D.

那一證明內的錯誤在於${\displaystyle x^{2}=y^{2}}$ 不表示${\displaystyle x=y}$ 的這一事實。到此之前的算術都是正確的，而事實上，${\displaystyle -\left(5-{\tfrac {9}{2}}\right)=4-{\tfrac {9}{2}}}$ 。需注意的是，若將4減去${\displaystyle {\tfrac {9}{2}}}$ ，會得到${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}$ 。若再平方的話，則會得到正的${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ 。其下一個邏輯的數學步驟為取兩邊的平方。若這樣做的話，則將會看見${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ 會等於${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ 。原始的${\displaystyle -20=-20}$ 式子事實上是會導致一個正確的等式的（若此一問題是以此一純粹的方式運算的話）。

證明1+1=0

• 求${\displaystyle 1+1}$ ︰

${\displaystyle {\begin{aligned}1+1&=1+{\sqrt {1}}\\&=1+{\sqrt {(-1)(-1)}}\\&=1+{\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\\&=1+i\times i\\&=1+(-1)\\&=0\\\end{aligned}}}$ 

Q.E.D.

此證明的錯誤在於${\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}}$ 只有在a與b不皆為負數才成立，${\displaystyle {\sqrt {(-1)(-1)}}}$ 並不等於${\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}}$ 。

證明0=1

首先，設定一個無窮級數。

${\displaystyle 0=0+0+0+\cdots }$ 

因為${\displaystyle 0=1-1}$ ，因此：

${\displaystyle 0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots }$ 

拆括號之後在於不同的地方加上括號：

${\displaystyle 0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots }$ 

${\displaystyle -1+1=0}$ ，因此：

${\displaystyle 0=1+0+0+0+\cdots }$ 

${\displaystyle 0=1\,}$ 

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，無窮等比級數在公比的絕對值大於等於一的情況下，將括號插入無窮級數求無窮和是沒有意義的，因為這樣的無窮等比級數和發散。因此這類條件不適用於格蘭迪級數 ${\displaystyle s=1-1+1-1+1-1+\cdots }$ 。

證明任何數字等於1/任何數字

${\displaystyle -{\frac {1}{b}}}$ 

${\displaystyle =-{\frac {\frac {a}{a}}{b}}}$ 

${\displaystyle =-{\frac {a}{b}}{}\cdot {\frac {1}{a}}}$ 

${\displaystyle {\frac {-{\frac {a}{b}}}{-{\frac {1}{b}}}}={\frac {1}{a}}}$ 

${\displaystyle -{\frac {a}{b}}\cdot -b={\frac {1}{a}}}$ 

${\displaystyle a={\frac {1}{a}}}$ 

Q.E.D.

證明0/0等於0

首先，我們知道：

${\displaystyle 0^{4}=0\times 0\times 0\times 0=0\,}$ 

${\displaystyle 0^{2}=0\times 0=0\,}$ 

由於${\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}}$ 

因此${\displaystyle {\frac {0^{4}}{0^{2}}}=0^{4-2}=0^{2}=0}$ 

因此${\displaystyle {\frac {0}{0}}=0}$ 

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，${\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}}$ 成立的前提有${\displaystyle a\neq 0}$ 。

證明任意兩數都是相等的

設${\displaystyle u=a\ ,\ v=b-c\,}$ 
設${\displaystyle a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,}$ 

由和立方與差立方公式可知：

${\displaystyle (u+{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}+3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv+v{\sqrt {v}}}$ 

${\displaystyle (u-{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}-3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv-v{\sqrt {v}}}$ 

由於${\displaystyle u=a\ ,\ v=b-c\,}$ 

${\displaystyle (a+{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)+(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}}$ 

${\displaystyle (a-{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)-(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}}$ 

將${\displaystyle a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,}$ 代入${\displaystyle 3a^{2}+b-c\,}$ ，可得：

${\displaystyle 3a^{2}+b-c=3(x^{2}-2xy+y^{2})+x^{2}+2xy+y^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=0\,}$ 

因此：

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+{\sqrt {b-c}})^{3}&=(a-{\sqrt {b-c}})^{3}\\a+{\sqrt {b-c}}&=a-{\sqrt {b-c}}\\{\sqrt {b-c}}&=0\\b-c&=0\\b&=c\\\end{aligned}}}$ 

代入${\displaystyle b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,}$ ，可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\x^{2}+2xy+y^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\-3x^{2}+6xy-3y^{2}&=0\\(x-y)^{2}&=0\\x-y&=0\\x&=y\\\end{aligned}}}$ 

Q.E.D.

这个证明的错误在于：

1、在以上的假设下，可得${\displaystyle v=b-c=(x+y)^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=-3(x-y)^{2}=-3a^{2}=-3u^{2}}$ ，所以${\displaystyle u}$ 和${\displaystyle v}$ 并不是独立的；

2、在复数域中，由${\displaystyle x^{3}=y^{3}}$ 得不出${\displaystyle x=y}$ 。在此证明中，由${\displaystyle (a+{\sqrt {b-c}})^{3}=(a-{\sqrt {b-c}})^{3}}$ 得出${\displaystyle a+{\sqrt {b-c}}=a-{\sqrt {b-c}}}$ 是错误的。

几何例子

第一题：证明任何三角形都是正三角形

 

第一题错误的证图

 

第一题正确的证图

 

第二题错误的证图

 

第二题正确的证图

给定三角形△ABC，证明AB = AC:

1. 作∠A的角平分线。
2. 作BC的垂直平分线，并设BC的中点为D。
3. 设这两条直线的交点为P。
4. 从P向AB和AC作垂线，并设垂足为E和F。
5. 作直线PB和PC。
6. △EAP ≅ △FAP（AP = AP；∠PAF ≅ ∠PAE由于AP平分∠A；∠AEP ≅ ∠AFP都是直角）。
7. △PDB ≅ △PDC（∠PDB、∠PDC是直角；PD = PD；BD = CD由于PD平分BC）。
8. △EPB ≅ △FPC（EP = FP由于△EAP ≅ △FAP；BP = CP由于△PDB ≅ △PDC；∠EPB ≅ ∠FPC由于它们是对顶角）。
9. 因此，AE ≅ AF，EB ≅ FC，AB = AE + EB = AF + FC = AC。
10. 同理，AB = BC，AC = BC。

证毕。

这个证明的错误在于，只有在△ABC為等腰三角形，P才會位于三角形的内部，而且AP与DP会重合。

第二题：证明直角等于钝角

给定一个矩形ABCD，证明∠DCB=∠ECB；

1. 在矩形ABCD外作CE=CD。
2. 联结AE。
3. 作BC、AE的中垂线，它们的垂足分别是G、F，两条直线交于H。
4. 在中垂线上的点到线段两端的距离是相等的，所以HA=HE，HB=HC。
5. 矩形的对边相等，得AB=DC；加上作图要求，得AB=EC。
6. 利用S.S.S得△ABH≅△ECH。于是得∠ABH=∠ECH。
7. 由于HB=HC，则得∠HBC=∠HCB。
8. 等量减等量，得∠ABC=∠ECB。
9. 矩形的四个角都是90°，得∠ABC=∠ECB=90°。

Q.E.D.

这个证明的错误在于，由于△ABH≅△ECH，则∠BHA=∠CHE，即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE，可以把∠AHE看作是∠BHC的旋转，因AH穿过了矩形ABCD，则EH是不可能穿过矩形ABCD的。

微积分例子

证明0等于1

我们从计算以下的不定积分开始：

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx}$ 

利用分部积分法，可得：

${\displaystyle u={\frac {1}{x}}}$ ，${\displaystyle dv=dx}$ 

因此：

${\displaystyle du=-{\frac {1}{x^{2}}}dx}$ ，${\displaystyle v=x}$ 

所以，有：

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx={\frac {x}{x}}-\int \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)xdx}$ 

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=1+\int {\frac {1}{x}}dx}$ 

${\displaystyle 0=1\,}$ 

证毕。

这个证明的错误在于，忽略了積分完會出現的積分常數C。若繼續計算，會得到${\displaystyle 1+\int {\frac {1}{x}}dx=1+\ln \ |x|+C=\ln \ |x|+C'}$ 。

參見

• 悖論