不定式 (數學)

在微積分和數學分析的其他分支中，不定式（英語：Indeterminate form），又稱未定式，是指這樣一類極限，其在按極限的運算規則進行代入後，還未能得到足夠信息去確定極限值。

这个术语最初由柯西的学生穆瓦尼奧（法语：Abbé Moigno）在19世紀中葉提出。常見的不定式有：${\displaystyle {\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~1^{\infty },~\infty -\infty ,~0^{0}{\text{ 和 }}~\infty ^{0}}$。 處理計算未定式的值常見的方法為使用羅必達法則。

例子

0除以0

${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$  是不定式。

0的0次方

${\displaystyle 0^{0}}$ 也是不定式。在不同軟件中，有不同的處理規則，有些定義為1或0，有些視為「沒有定義」。

在數學上，當${\displaystyle x}$ 趨向${\displaystyle 0^{+}}$ ，${\displaystyle x^{x}}$ 的極限是1。

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0\qquad }$ 

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1\qquad }$ 

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1\qquad }$ 

在幂级数和微積分中，有時候必須定義${\displaystyle 0^{0}=1}$ ，等式才會成立。

在二項式定理中，當${\displaystyle x=0}$ ，右式會出現${\displaystyle 0^{0}}$ 。

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}}$ 

微分學的幂法则（英语：Power rule），在${\displaystyle n=1}$ 及${\displaystyle x=0}$ 的情況下，也會出現${\displaystyle 0^{0}}$ 。

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}$ 

物理

在物理学上这是有一定的解释。比如说电阻定义 ${\displaystyle R={\frac {V}{I}}}$ ，当电压和电流都为 ${\displaystyle 0}$  时 ${\displaystyle R}$  的值（英语：Value (mathematics)）存在不确定性。

例如，极限

${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}}$  ${\displaystyle f(c)=g(c)=0\,}$ 。若 ${\displaystyle f(x)\,}$  等于 ${\displaystyle g(x)\,}$ ，极限为1；若 ${\displaystyle f(x)\,}$  等于 ${\displaystyle g(x)\,}$  的两倍，则极限为2。

更一般地，${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$  的极限可以通过洛必达法则求得。

不定式列表

下表中列出了最常见的不定式，可以通过变换来使得它们满足洛必达法则的条件。

不定式	条件	变换到0/0	变换到∞/∞
${\displaystyle 0/0}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	—	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty /\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$	—
${\displaystyle 0\cdot \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty -\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!}$
${\displaystyle 0^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle 1^{\infty }}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty ^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$