^Eli Maor. The Story of a Number. Princeton University Press. : p.116. ISBN 0-691-05854-7. 引文格式1维护:冗余文本 (link)
五月 08, 2023
洛必达法则, 洛必達法則, 法語, règle, hôpital, 英語, hôpital, rule, 是利用導數來計算具有不定型的極限的方法, 該法則以法國數學家纪尧姆, 洛必达的名字命名, 但實际上是由瑞士數學家約翰, 伯努利, 所發現, 目录, 敘述, 證明, 例子, 参阅, 参考文献, 来源, 参考敘述, 编辑洛必達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值, 令c, displaystyle, mathbb, 擴展實數, 兩函數f, displaystyle, 在以x, displaystyle, 為端點的. 洛必達法則 法語 Regle de L Hopital 英語 L Hopital s rule 是利用導數來計算具有不定型的極限的方法 該法則以法國數學家纪尧姆 德 洛必达的名字命名 但實际上是由瑞士數學家約翰 伯努利 1 所發現 目录 1 敘述 2 證明 3 例子 4 参阅 5 参考文献 5 1 来源 5 2 参考敘述 编辑洛必達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值 令c R displaystyle c in bar mathbb R 擴展實數 兩函數f x g x displaystyle f x g x 在以x c displaystyle x c 為端點的開區間可微 lim x c f x g x R displaystyle lim x to c frac f x g x in bar mathbb R 並且g x 0 displaystyle g x neq 0 如果 lim x c f x lim x c g x 0 displaystyle lim x to c f x lim x to c g x 0 或 lim x c f x lim x c g x displaystyle lim x to c f x lim x to c g x infty 其中一者成立 則稱欲求的極限lim x c f x g x displaystyle lim x to c frac f x g x 為未定式 此時洛必达法则表明 lim x c f x g x lim x c f x g x displaystyle lim x to c frac f x g x lim x to c frac f x g x 對於不符合上述分數形式的未定式 可以通過運算轉為分數形式 再以本法則求其值 以下列出數例 欲求的極限 條件 轉換為分數形式的方法 1 lim x c f x g x displaystyle lim x to c f x g x lim x c f x 0 lim x c g x displaystyle lim x to c f x 0 lim x to c g x infty lim x c f x g x lim x c f x 1 g x displaystyle lim x to c f x g x lim x to c frac f x 1 g x 或 lim x c g x 1 f x displaystyle lim x to c frac g x 1 f x 2 lim x c f x g x displaystyle lim x to c f x g x lim x c f x lim x c g x displaystyle lim x to c f x infty lim x to c g x infty lim x c f x g x lim x c 1 g x 1 f x 1 f x g x displaystyle lim x to c f x g x lim x to c frac 1 g x 1 f x 1 f x g x 3 lim x c f x g x displaystyle lim x to c f x g x lim x c f x 0 lim x c g x 0 displaystyle lim x to c f x 0 lim x to c g x 0 或lim x c f x lim x c g x 0 displaystyle lim x to c f x infty lim x to c g x 0 lim x c f x g x exp lim x c g x 1 ln f x displaystyle lim x to c f x g x exp lim x to c frac g x 1 ln f x 4 lim x c f x g x displaystyle lim x to c f x g x lim x c f x 1 lim x c g x displaystyle lim x to c f x 1 lim x to c g x infty lim x c f x g x exp lim x c ln f x 1 g x displaystyle lim x to c f x g x exp lim x to c frac ln f x 1 g x 注意 不能在数列形式下直接用洛必達法則 因為對於離散變量是无法求导数的 但此时有形式类近的斯托尔兹 切萨罗定理 Stolz Cesaro theorem 作为替代 證明 编辑下面仅给出 lim x a f x lim x a g x 0 g a 0 displaystyle lim x to a f x lim x to a g x 0 g a neq 0 的证明 设两函數f x displaystyle f x 及g x displaystyle g x 在a 點附近连续可导 f x displaystyle f x 及 g x displaystyle g x 都在 a 點連續 且其值皆為 0 f a 0 g a 0 lim x a f x 0 lim x a g x 0 displaystyle f a 0 g a 0 qquad lim x to a f x 0 lim x to a g x 0 为了叙述方便 假设两函数在 a 点附近都不为0 另一方面 两函数的导数比值在 a 点存在 记为 lim x a f x g x L displaystyle lim x to a frac f x g x L 由極限的定义 对任何一个ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 試想像y軸 都存在h gt 0 displaystyle eta gt 0 試想像x軸 使得对任意的a h x a h x a displaystyle a eta leqslant x leqslant a eta x neq a 都有 L ϵ f x g x L ϵ displaystyle L epsilon leqslant frac f x g x leqslant L epsilon 而根据柯西中值定理 逆定理 对任意的a h x a h x a displaystyle a eta leqslant x leqslant a eta x neq a 都存在一个介于a displaystyle a 和x displaystyle x 之间的数3 displaystyle xi 使得 f x g x displaystyle frac f x g x f x f a g x g a f 3 g 3 displaystyle frac f x f a g x g a frac f xi g xi 于是 L ϵ f x g x L ϵ displaystyle L epsilon leqslant frac f x g x leqslant L epsilon 因此 极限lim x a f x g x L lim x a f x g x displaystyle lim x to a frac f x g x L lim x to a frac f x g x 例子 编辑lim x 0 sin p x p x displaystyle lim x to 0 frac sin pi x pi x lim x 0 sin x x displaystyle lim x to 0 frac sin x x lim x 0 cos x 1 displaystyle lim x to 0 frac cos x 1 1 1 1 displaystyle frac 1 1 1 lim x 0 2 sin x sin 2 x x sin x displaystyle lim x to 0 2 sin x sin 2x over x sin x lim x 0 2 cos x 2 cos 2 x 1 cos x displaystyle lim x to 0 2 cos x 2 cos 2x over 1 cos x lim x 0 2 sin x 4 sin 2 x sin x displaystyle lim x to 0 2 sin x 4 sin 2x over sin x lim x 0 2 cos x 8 cos 2 x cos x displaystyle lim x to 0 2 cos x 8 cos 2x over cos x 2 cos 0 8 cos 0 cos 0 displaystyle 2 cos 0 8 cos 0 over cos 0 6 displaystyle 6 lim x 0 r x 1 x displaystyle lim x to 0 r x 1 over x lim x 0 d d x r x d d x x displaystyle lim x to 0 frac d dx r x over frac d dx x lim x 0 r x ln r 1 displaystyle lim x to 0 r x ln r over 1 ln r lim x 0 r x displaystyle ln r lim x to 0 r x ln r displaystyle ln r lim x 0 e x 1 x x 2 lim x 0 e x 1 2 x lim x 0 e x 2 1 2 displaystyle lim x to 0 e x 1 x over x 2 lim x to 0 e x 1 over 2x lim x to 0 e x over 2 1 over 2 lim x x ln x lim x 1 2 x 1 x lim x x 2 displaystyle lim x to infty frac sqrt x ln x lim x to infty frac frac 1 2 sqrt x frac 1 x lim x to infty frac sqrt x 2 infty lim x x n e x lim x x n e x lim x n x n 1 e x n lim x x n 1 e x 0 displaystyle lim x to infty x n e x lim x to infty x n over e x lim x to infty nx n 1 over e x n lim x to infty x n 1 over e x 0 lim x 0 x ln x lim x 0 ln x 1 x lim x 0 1 x 1 x 2 lim x 0 x 0 displaystyle lim x to 0 x ln x lim x to 0 ln x over frac 1 x lim x to 0 frac 1 x over frac 1 x 2 lim x to 0 x 0 lim t 0 s i n c f 0 t cos p a f 0 t 1 2 a f 0 t 2 displaystyle lim t to 0 mathrm sinc f 0 t cdot frac cos left pi alpha f 0 t right left 1 left 2 alpha f 0 t right 2 right lim t 0 s i n c f 0 t cos p a f 0 t 1 2 a f 0 t 2 t 0 displaystyle left lim t to 0 mathrm sinc f 0 t right cdot left frac cos left pi alpha f 0 t right left 1 left 2 alpha f 0 t right 2 right right t 0 1 1 1 displaystyle 1 cdot 1 1 lim t 1 2 a f 0 s i n c f 0 t cos p a f 0 t 1 2 a f 0 t 2 displaystyle lim t to frac 1 2 alpha f 0 mathrm sinc f 0 t cdot frac cos left pi alpha f 0 t right left 1 left 2 alpha f 0 t right 2 right s i n c 1 2 a lim t 1 2 a f 0 cos p a f 0 t 1 2 a f 0 t 2 displaystyle mathrm sinc left frac 1 2 alpha right cdot lim t to frac 1 2 alpha f 0 frac cos left pi alpha f 0 t right left 1 left 2 alpha f 0 t right 2 right s i n c 1 2 a p 2 2 displaystyle mathrm sinc left frac 1 2 alpha right cdot left frac frac pi 2 2 right sin p 2 a a 2 displaystyle sin left frac pi 2 alpha right cdot frac alpha 2 参阅 编辑极限参考文献 编辑来源 编辑 L Hopital s Rule 2020 10 20 原始内容存档于2020 12 31 参考 编辑 Eli Maor The Story of a Number Princeton University Press p 116 ISBN 0 691 05854 7 引文格式1维护 冗余文本 link 取自 https zh wikipedia org w index php title 洛必达法则 amp oldid 76678957, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,