柯西中值定理, 也叫拓展中值定理, 是拉格朗日中值定理的推广, 是微分学的基本定理之一, 中值定理微分中值定理, 罗尔中值定理, 拉格朗日中值定理, 积分中值定理, 积分第一中值定理, 积分第二中值定理, 相关条目, 微积分学内容, 编辑如果函数f, displaystyle, 及g, displaystyle, 满足, 在闭区间, displaystyle, 上连续, 在开区间, displaystyle, 内可微分, 对任意x, displaystyle, 那么在, displaystyle, 内至少有一点ξ,. 柯西中值定理 也叫拓展中值定理 是拉格朗日中值定理的推广 是微分学的基本定理之一 中值定理微分中值定理 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 积分中值定理 积分第一中值定理 积分第二中值定理 相关条目 微积分学内容 编辑如果函数f x displaystyle f x 及g x displaystyle g x 满足 在闭区间 a b displaystyle a b 上连续 在开区间 a b displaystyle a b 内可微分 对任意x a b g x 0 displaystyle x in a b g x neq 0 那么在 a b displaystyle a b 内至少有一点3 a lt 3 lt b displaystyle xi a lt xi lt b 使等式 f b f a g b g a f 3 g 3 displaystyle frac f b f a g b g a frac f xi g xi 或 柯西定理的几何意义 f b f a g 3 g b g a f 3 displaystyle f b f a g xi g b g a f xi 成立 其几何意义为 用参数方程表示的曲线上至少有一点 它的切线平行于两端点所在的弦 但柯西定理不能表明在任何情况下不同的两点 f a g a 和 f b g b 都存在切线 因为可能存在一些c值使f c g c 0 换句话说取某个值时位于曲线的驻点 在这些点处 曲线根本没有切线 下面是这种情形的一个例子 t t 3 1 t 2 displaystyle t mapsto t 3 1 t 2 在区间 1 1 上 曲线由 1 0 到 1 0 却并无一个水平切线 然而它有一个驻点 实际上是一个尖点 在t 0 时 柯西中值定理可以用来证明洛必达法则 拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g t t 时的特殊情况 证明 编辑首先 如果g a g b displaystyle g a g b 由罗尔定理 存在一点x 0 a b displaystyle x 0 in a b 使得g x 0 0 displaystyle g x 0 0 与条件3矛盾 所以g a g b displaystyle g a neq g b 令h x f x f b f a g b g a g x displaystyle h x f x frac f b f a g b g a cdot g x 那么 h displaystyle h 在 a b displaystyle a b 上连续 h displaystyle h 在 a b displaystyle a b 上可导 h a h b f a g b f b g a g b g a displaystyle h a h b frac f a g b f b g a g b g a 由罗尔定理 存在一点c a b displaystyle c in a b 使得h c 0 displaystyle h c 0 即f c f b f a g b g a g c displaystyle f c frac f b f a g b g a cdot g c 命题得证 参见 编辑拉格朗日中值定理 微分中值定理 罗尔定理 取自 https zh wikipedia org w index php title 柯西中值定理 amp oldid 69615870, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,