中值定理, 提示, 此条目的主题不是介值定理, 在數學分析中, 均值定理, 英語, mean, value, theorem, 大致是講, 給定平面上固定兩端點的可微曲線, 則這曲線在這兩端點間至少有一點, 在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率, 微分, 罗尔, 拉格朗日, 柯西, 积分, 积分第一, 积分第二, 相关条目, 微积分学更仔細點講, 假設函數, displaystyle, 在閉區間, displaystyle, 連續且在開區間, displaystyle, 可微, 則存在一點c, d. 提示 此条目的主题不是介值定理 在數學分析中 均值定理 英語 Mean value theorem 大致是講 給定平面上固定兩端點的可微曲線 則這曲線在這兩端點間至少有一點 在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率 註 1 中值定理微分中值定理 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 积分中值定理 积分第一中值定理 积分第二中值定理 相关条目 微积分学更仔細點講 假設函數 f displaystyle f 在閉區間 a b displaystyle a b 連續且在開區間 a b displaystyle a b 可微 則存在一點c a lt c lt b displaystyle c a lt c lt b 使得 f c f b f a b a displaystyle f c frac f b f a b a 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理 目录 1 微分中值定理 1 1 罗尔中值定理 1 2 拉格朗日中值定理 均值定理 1 3 柯西中值定理 2 积分中值定理 2 1 积分第一中值定理 2 1 1 证明 2 1 2 推论 拉格朗日中值定理的积分形式 2 2 积分第二中值定理 2 2 1 内容 2 2 2 退化态的几何意义 2 3 应用 3 注释 4 参见微分中值定理 编辑微分中值定理分为罗尔中值定理 拉格朗日中值定理和柯西中值定理 内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微曲线 兩端點之中必然有一点 它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同 严格的数学表达参见下文 當提到均值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理 罗尔中值定理 编辑 罗尔定理的几何意义 主条目 罗尔定理 如果函数f x displaystyle f x 满足 在闭区间 a b displaystyle a b 上连续 在开区间 a b displaystyle a b 内可导 在区间端点处的函数值相等 即f a f b displaystyle f a f b 那么在 a b displaystyle a b 内至少有一点3 a lt 3 lt b displaystyle xi a lt xi lt b 使得f 3 0 displaystyle f prime xi 0 这个定理称为罗尔定理 拉格朗日中值定理 均值定理 编辑 拉格朗日中值定理的几何意义 主条目 拉格朗日中值定理 令f a b R displaystyle f a b rightarrow mathbf R 为闭区间 a b displaystyle a b 上的一个连续函数 且在开区间 a b displaystyle a b 内可导 其中a lt b displaystyle a lt b 那么在 a b displaystyle a b 上存在某个c displaystyle c 使得 f c f b f a b a displaystyle f c frac f b f a b a 此定理称为拉格朗日中值定理 也簡稱均值定理 是罗尔中值定理的更一般的形式 同时也是柯西中值定理的特殊情形 这个定理在可以稍微推廣一點 只需假设 f a b R displaystyle f a b rightarrow mathbb R 在 a b displaystyle a b 连续 且在開區間 a b displaystyle a b 内对任意一點 x displaystyle x 极限 lim h 0 f x h f x h displaystyle lim h to 0 frac f x h f x h 存在 为一个有限数字或者等于 或 如果有限 则极限等于f x displaystyle f x 這版本定理应用的一个例子是函數 x x 1 3 displaystyle x to x 1 3 实值三次方根函数 其导数在原点趋于无穷 注意若一个可微函数的值域是複數而不是實數 則上面这定理就未必正确 例如 对實數 x displaystyle x 定义f x e i x displaystyle f x e ix 那么 f 2 p f 0 0 f c 2 p 0 displaystyle f 2 pi f 0 0 neq f c 2 pi 0 因 f x 1 0 displaystyle f x 1 neq 0 时 c displaystyle c 為開區間 0 2 p displaystyle 0 2 pi 中任意一點 柯西中值定理 编辑 柯西中值定理 也叫拓展中值定理 是中值定理的一般形式 它叙述为 如果函数 f 和 g 都在闭区间 a b 上连续 且在开区间 a b 上可微 那么存在某个 c a b 使得 柯西定理的几何意义 f b f a g c g b g a f c displaystyle f b f a g c g b g a f c 当然 如果g a g b 且 g c 0 則可表示成 f c g c f b f a g b g a displaystyle frac f c g c frac f b f a g b g a 在几何上 这表示曲线 a b R 2 t f t g t displaystyle begin cases a b to mathbb R 2 t mapsto f t g t end cases 上存在一點其切線平行于由兩點 f a g a 和 f b g b 所連接的直线 但柯西定理不能表明在任何情况下這種切線都存在 因为可能存在一些c值使 f c g c 0 所以在这些点曲线根本没有切线 下面是这种情形的一个例子 t t 3 1 t 2 displaystyle t mapsto t 3 1 t 2 在区间 1 1 上 曲线由 1 0 到 1 0 却并无一个水平切线 然而它在 t 0 处有一个驻点 实际上是一个尖点 柯西中值定理可以用来证明洛必达法则 拉格朗日 均值定理是柯西中值定理当g t t 时的特殊情况 积分中值定理 编辑积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理 它们各包含两个公式 其退化状态均指在3的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等 严格表述在下面 积分第一中值定理 编辑 设f a b R displaystyle f a b rightarrow mathbb R 为一连续函数 g a b R displaystyle g a b rightarrow mathbb R 要求g x displaystyle g x 是可积函数且在积分区间不变号 那么存在一点3 a b displaystyle xi in a b 使得 a b f x g x d x f 3 a b g x d x displaystyle int a b f x g x dx f xi int a b g x dx 证明 编辑 在不失去一般性的条件下 设对所有x displaystyle x 有g x 0 displaystyle g x geq 0 因为f displaystyle f 是闭区间上的连续函数 f displaystyle f 取得最大值M displaystyle M 和最小值m displaystyle m 于是 m g x f x g x M g x displaystyle mg x leq f x g x leq Mg x 对不等式求积分 我们有 m a b g x d x a b f x g x d x M a b g x d x displaystyle m int a b g x dx leq int a b f x g x dx leq M int a b g x dx 若 a b g x d x 0 displaystyle int a b g x dx 0 则 a b f x g x d x 0 displaystyle int a b f x g x dx 0 3 displaystyle xi 可取 a b displaystyle a b 上任一点 若不等于零那么 a b g x d x gt 0 displaystyle int a b g x dx gt 0 m a b f x g x d x a b g x d x M displaystyle m leq frac int a b f x g x dx int a b g x dx leq M 因为m f x M displaystyle m leq f x leq M 是连续函数 根據介值定理 则必存在一点3 a b displaystyle xi in a b 使得 f 3 a b f x g x d x a b g x d x displaystyle f xi frac int a b f x g x dx int a b g x dx g x lt 0 displaystyle g x lt 0 的情况按同样方法证明 积分第一中值定理推论的几何意义 推论 拉格朗日中值定理的积分形式 编辑 在上式中令g x 1 displaystyle g x 1 则可得出 设f a b R displaystyle f a b rightarrow mathbf R 为一连续函数 则 3 a b displaystyle xi in a b 使 f 3 a b f x d x b a displaystyle f xi frac int a b f x dx b a 它也可以由拉格朗日中值定理推出 设F x displaystyle F x 在 a b displaystyle a b 上可导 f x F x displaystyle f x F prime x 则 3 a b displaystyle xi in a b 使 f 3 F 3 F b F a b a a b f x d x b a displaystyle f xi F prime xi frac F b F a b a frac int a b f x dx b a 积分第二中值定理 编辑 积分第二中值定理与积分第一中值定理相互独立 却又是更精细的积分中值定理 它可以用来证明Dirichlet Abel反常Riemann积分判别法 内容 编辑 若f g在 a b 上黎曼可积且f x 在 a b 上单调 则存在 a b 上的点3使 a b f x g x d x f a a 3 g x d x f b 3 b g x d x displaystyle int a b f x g x mathrm d x f a int a xi g x mathrm d x f b int xi b g x mathrm d x 退化态的几何意义 编辑 第二积分中值定理退化形式的几何意义 令g x 1 则原公式可化为 a b f x d x f a 3 a f b b 3 displaystyle int a b f x dx f a xi a f b b xi 进而导出 a 3 f x d x f a 3 a f b b 3 3 b f x d x displaystyle int a xi f x dx f a xi a f b b xi int xi b f x dx 此时易得其几何意义为 能找到3 a b 使得S 红 S 蓝 S 阴影 即S I S II 应用 编辑 关于积分中值定理的一个重要应用是可以去除掉积分号 或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数 从而使问题简化 注释 编辑 這个定理有兩種翻譯 均值定理跟中值定理 與數學分析中另一重要定理 intermediate value theorem 翻譯成中間值定理或介值定理 容易混淆参见 编辑罗尔定理 柯西中值定理 介值定理 极值定理 取自 https zh wikipedia org w index php title 中值定理 amp oldid 74295999, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,