拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理，也簡稱均值定理，是以法国数学家约瑟夫·拉格朗日命名，為罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理。

中值定理
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内容

 

拉格朗日中值定理的几何意义

文字叙述

如果函数${\displaystyle f(x)}$ 满足：

1. 在闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 上连续;
2. 在开区间${\displaystyle (a,b)}$ 内可微分;

那么至少有一点 ${\displaystyle \xi ,\;a<\xi <b}$ ，使下面等式成立

${\displaystyle f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)}$ 。

证明

令${\displaystyle g(x)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot (x-a)+f(a)-f(x)}$ 。那么

1. ${\displaystyle g}$ 在${\displaystyle [a,b]}$ 上连续，
2. ${\displaystyle g}$ 在${\displaystyle (a,b)}$ 上可微（导），
3. ${\displaystyle g(a)=g(b)=0}$ 。由罗尔定理，存在至少一点${\displaystyle \xi \in (a,b)}$ ，使得${\displaystyle g'(\xi )=0}$ 。即${\displaystyle f'(\xi )={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ 。

其他形式

1.${\displaystyle f(b)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta (b-a))(b-a),0<\theta <1}$ ;

2. ${\displaystyle f(a+h)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta h)h,0<\theta <1}$ . 或 ${\displaystyle f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime }(x+\theta \Delta x)\Delta x,0<\theta <1}$ .

另请参见

• 中值定理