罗尔定理

以法国数学家米歇尔·罗尔命名的罗尔中值定理（英語：Rolle's theorem）是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，叙述如下：如果函数${\displaystyle f(x)}$满足

1. 在闭区间${\displaystyle [a,b]}$上连续；
2. 在开区间${\displaystyle (a,b)}$内可微分；
3. 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，

中值定理
微分中值定理 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 积分中值定理 积分第一中值定理 积分第二中值定理 相关条目：微积分学

那么在${\displaystyle (a,b)}$内至少有一点${\displaystyle \xi (a<\xi <b)}$，使得${\displaystyle f^{\prime }(\xi )=0}$^[1]。

证明

 

罗尔定理的几何意义

首先，因为${\displaystyle f}$ 在闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 上连续，根据极值定理，${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle [a,b]}$ 上有最大值和最小值。如果最大值和最小值都在端点${\displaystyle a}$ 或${\displaystyle b}$ 处取得，由于${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ，${\displaystyle f}$ 显然是一个常数函数。那么对于任一点${\displaystyle \xi \in (a,b)}$ ，我们都有${\displaystyle f^{\prime }(\xi )=0}$ 。

现在假设${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle \xi \in (a,b)}$ 处取得最大值。我们只需证明${\displaystyle f}$ 在该点导数为零。

取${\displaystyle x\in (a,\xi )}$ ，由最大值定义${\displaystyle f(\xi )\geq f(x)}$ ，那么${\displaystyle {\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\geq 0}$ 。令${\displaystyle x\rightarrow \xi ^{-}}$ ，则${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \xi ^{-}}{\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\geq 0}$ 。因为${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle \xi }$ 处可导，所以我们有${\displaystyle f'(\xi )\geq 0}$ 。

取${\displaystyle x\in (\xi ,b)}$ ，那么${\displaystyle {\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\leq 0}$ 。这时令${\displaystyle x\rightarrow \xi ^{+}}$ ，则有${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \xi ^{+}}{\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\leq 0}$ ，所以${\displaystyle f'(\xi )\leq 0}$ 。

于是，結合兩者，${\displaystyle f'(\xi )=0}$ 。

${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle \xi \in (a,b)}$ 处取得最小值的情况同理。

例子

第一个例子

 

半径为r的半圆

考虑函数

${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}},\quad x\in [-r,r]}$ 。

（其中r > 0。）它的图像是中心位于原点的半圆。这个函数在闭区间[−r,r]内连续，在开区间(−r,r)内可导（但在终点−r和r处不可导）。由于f(−r) = f(r)，因此根据罗尔定理，存在一个导数为零的点。

第二个例子

 

绝对值函数的图像

如果函数在区间内的某个点不可导，则罗尔定理的结论不一定成立。对于某个a > 0，考虑绝对值函数：

${\displaystyle f(x)=|x|,\qquad x\in [-a,a]}$ 。

那么f(−a) = f(a)，但−a和a之间不存在导数为零的点。这是因为，函数虽然是连续的，但它在点x = 0不可导。注意f的导数在x = 0从-1变为1，但不取得值0。

推广形式

第二个例子表明罗尔定理下面的一般形式：

考虑一个实数，f(x)是在闭区间[a,b]上的连续函数，并满足f(a) = f(b).如果对开区间(a,b)内的任意x，右极限

${\displaystyle f'(x+):=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ 

而左极限

${\displaystyle f'(x-):=\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ 

在扩展的实数轴[−∞,∞]上存在，那么开区间(a,b)内就存在c使得这两个极限

${\displaystyle f'(c+)\quad }$ 和${\displaystyle \quad f'(c-)}$ 

中其中一个≥ 0，另一个≤ 0（在扩展的实数轴上）。如果对任何x左极限和右极限都相同，那么它们对c也相等，于是在c处f的导函数存在且等于零。

参见

• 中值定理

参考文献

1. 殷锡鸣. 高等数学（上）. 北京: 高等教育出版社. 2009: 134. ISBN 978-7-04-027235-2. 

外部链接

 

维基共享资源上的相关多媒体资源：罗尔定理

• Hazewinkel, Michiel (编), Rolle theorem, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4