常數函數

在数学中，常数函数（也称常值函数）是指值不发生改变（即是常数）的函数。例如，我们有函数${\displaystyle f(x)=4}$，因为${\displaystyle f}$映射任意的值到4，因此${\displaystyle f}$是一个常数。更一般地，对一个函数${\displaystyle f:A\rightarrow B}$，如果对${\displaystyle A}$内所有的${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$，都有${\displaystyle f(x)=f(y)}$，那么，${\displaystyle f}$是一个常数函数。其中${\displaystyle f(x)=0}$的常數函數稱為零函數，圖形為x軸；值不為零的常數函數則可稱為零次函數，圖形為一平行x軸的水平線。

请注意，每一个空函数（定义域为空集的函数）无意义地满足上述定义，因为${\displaystyle A}$中没有${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$使${\displaystyle f(x)}$和${\displaystyle f(y)}$不同。然而有些人^[谁？]认为，如果包括空函数的话，那么常数函数将更容易定义。

对于多项式函数，一个非零常数函数称为一个零次多项式。

性质

常数函数可以通过与复合函数的关系，从两个途径进行描述。

下面这些是等价的：

1. ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ 是一个常数函数。
2. 对所有函数${\displaystyle g,h:C\to A,f\circ g=f\circ h}$ （“${\displaystyle \circ }$ ”表示复合函数）。
3. ${\displaystyle f}$ 与其他任何函数的复合仍是一个常数函数。

上面所给的常数函数的第一个描述，是范畴论中常数态射更多一般概念的激发和定义的性质。

根据定义，一个函数的导函数度量自变量的变化与函数变化的关系。那么我们可以得到，由于常数函数的值是不变的，它的导函数是零。例如：

• 如果${\displaystyle f}$ 是一个定义在某一区间、变量为实数的实数函数，那么当且仅当${\displaystyle f}$ 的导函数恒为零时，${\displaystyle f}$ 是常数。

对预序集合间的函数，常数函数是保序和倒序的；相反的，如果f既是保序的也是倒序的，如${\displaystyle f}$ 的定义域是一个格，那么${\displaystyle f}$ 一定是一个常数函数。

常数函数的其他性质包括：

• 任一定义域和陪域相同的常数函数是等幂的。
• 任一拓扑空间上的常数是连续的。

在一个连通集合中，当且仅当f是常数时，它是局部常数。

參見

• 代数式
• 因式分解

参考文献

• Herrlich, Horst and Strecker, George E., 范畴论（Category Theory）, Allen and Bacon, Inc. Boston (1973)
• PlanetMath上常数函数（Constant function）的資料。