斜率

在数学上，直线的斜率（slope）或称梯度（gradient），是描述与度量该线“方向”和“陡度”的数字，常用 ${\displaystyle m}$ 表示；斜率也用來计算斜坡的“斜度”（傾斜程度）。透過代數和幾何能計算出直線的斜率。

斜率：${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )}$，${\displaystyle \theta }$是傾角

一直線的斜率在其上任一點皆相等；一曲線的斜率在其上任一點则不定，由該點切線的斜率而決定。曲線上某點的切線斜率，反映此曲線的變數在此點的變化快慢程度。透過微積分可計算出曲線中任一點的切線斜率，直线斜率的概念等同土木工程和地理的坡度。

另一個相關概念是傾角（angle of inclination）或斜角，即直線與水平軸（${\displaystyle x}$ 軸）所夾的最小角，以 ${\displaystyle \theta }$ 表示，${\displaystyle -90^{\circ }<\theta \leq 90^{\circ }}$。傾角 ${\displaystyle \theta }$ 的正切函數值為直線的斜率，即 ${\displaystyle m=\tan(\theta )}$；而 ${\displaystyle \theta =\arctan(m)}$，${\displaystyle \arctan }$ 是反正切函數。

定义

• 對於直角坐標系，一次函数：${\displaystyle y=kx+b}$ ，若 ${\displaystyle k}$ 、${\displaystyle b}$  均不为0，則可說 ${\displaystyle k}$  是斜率，${\displaystyle b}$  是截距。

• 若橫軸為 ${\displaystyle x}$  軸，縱軸是 ${\displaystyle y}$  軸，斜率 ${\displaystyle m}$  可表示为：

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$ 　(${\displaystyle \Delta }$ ：變數的改變)

• 若已知道直角坐标系内两点 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$  和 ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ ，则斜率 ${\displaystyle m}$  可表示为：

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$ 

• 垂直线的斜率是未定义的，因为此时 ${\displaystyle \Delta x=0}$ （即 分母为 0）。

运算

点斜式

如已知點${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$ 斜率為${\displaystyle m}$ 的直線方程式時，即可使用此方法。

${\displaystyle y-y_{0}=m\left(x-x_{0}\right)}$ 

截距式

若已知某直线在${\displaystyle x}$ 轴、${\displaystyle y}$ 轴上的截距分别为${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ ，则该直线的方程可以表示为：

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1}$ 

两点式

如已知${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$ 、${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)}$ 相異兩點${\displaystyle x_{1}}$ ≠${\displaystyle x_{2}}$ ，${\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\left(x-x_{1}\right)}$ 

②若${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ ，${\displaystyle x=x_{1}}$ 

原理：兩個相似的直角三角形

斜截式

如已知斜率${\displaystyle m}$  ，${\displaystyle y}$ 截距為${\displaystyle b}$ ，則直線的方程式是

${\displaystyle y=mx+b.}$ 

若${\displaystyle x}$ 截距為${\displaystyle a}$ ，則是 ${\displaystyle y=m(x-a).}$ 

參見

• 直線
• 角度
• 截距
• 方程式
• 方程组