相等

在數學的領域中，若兩個数学对象在各个方面都相同，则称他们是相等的。这就定义了一个二元谓词等于，写作“${\displaystyle =}$”；${\displaystyle x=y}$当且仅当${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$相等。通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式，例如${\displaystyle 6-2=4}$，即${\displaystyle 6-2}$與${\displaystyle 4}$是相等的。

注意，有些时候“${\displaystyle A=B}$”并不表示等式。例如，${\displaystyle T(n)=O(n^{2})}$表示在数量级${\displaystyle n^{2}}$上渐进。因為这裡的符号“${\displaystyle =}$”不滿足若且唯若的定義，所以它不等於等于符号；实际上，${\displaystyle O(n^{2})=T(n)}$是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。

等价二元关系的表格

集合${\displaystyle A}$上的等于关系是种二元关系，满足自反性，对称性，反对称性和传递性。 实际上，这是${\displaystyle A}$ 上唯一满足所有这些性质的关系。 去掉对反对称性的要求，就是等价关系。 相应的，给定任意等价关系${\displaystyle R}$，可以构造商集${\displaystyle A/R}$，并且这个等价关系将‘下降为’${\displaystyle A/R}$上的等于。

在任何条件下都成立的等式称为恒等式，包含未知数的等式称为方程式。

邏輯形式

謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理來形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學家萊布尼茨在17世紀提出來的。 萊布尼茨的想法是，兩樣物體是同一的，當且僅當它們有完全相同的性質。 形式化這一說法，可以寫成

對任意${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ ，${\displaystyle x=y}$ 當且僅當對任意謂詞${\displaystyle P}$  ，${\displaystyle P(x)}$ 當且僅當${\displaystyle P(y)}$ 。

然而，在一階邏輯中，不能對謂詞進行量化。因此，需要使用下述公理：

對任意${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ ，若${\displaystyle x}$ 等於${\displaystyle y}$ ，則${\displaystyle P(x)}$ 當且僅當${\displaystyle P(y)}$ 。

這條公理對任意單變量的謂詞${\displaystyle P}$ 都有效，但只定義了萊布尼茨律的一個方向：若${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 相等，則它們具有相同的性質。 可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向：

對任意${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle x}$ 等於${\displaystyle x}$ 。

則若${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 具有相同的性質，則特定的它們關於謂詞${\displaystyle P}$ 是相同的。這裡謂詞${\displaystyle P}$ 為：${\displaystyle P(z)}$ 當且僅當${\displaystyle x=z}$ 。 由於${\displaystyle P(x)}$ 成立，${\displaystyle P(y)}$ 必定也成立（相同的性質），所以${\displaystyle x=y}$ （' '${\displaystyle P}$ 的變量為${\displaystyle y}$ ）.

等于的一些基本性质

替代性

参见：等量公理

对任意量${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ 和任意表达式${\displaystyle F(x)}$ ，若${\displaystyle a=b}$ ，则${\displaystyle F(a)=F(b)}$ （设等式两边都有意义）。 在一阶逻辑中，不能量化像${\displaystyle F}$ 这样的表达式（它可能是个函数谓词）。 一些例子：

• 对任意实数${\displaystyle a,b,c}$ ，若${\displaystyle a=b}$ ，则${\displaystyle a+c=b+c}$ （这里${\displaystyle F(x)}$ 为${\displaystyle x+c}$ ）
• 对任意实数${\displaystyle a,b,c}$ ，若${\displaystyle a=b}$ ，则${\displaystyle a-c=b-c}$ （这里${\displaystyle F(x)}$ 为${\displaystyle x-c}$ ）
• 对任意实数${\displaystyle a,b,c}$ ，若${\displaystyle a=b}$ ，则${\displaystyle ac=bc}$ （这里${\displaystyle F(x)}$ 为${\displaystyle xc}$ ）
• 对任意实数${\displaystyle a,b,c}$ ，若${\displaystyle a=b}$ 且${\displaystyle c\neq 0}$ ，则${\displaystyle a/c=b/c}$ （这里${\displaystyle F(x)}$ 为${\displaystyle x/c}$ ）

自反性

对任意量${\displaystyle a}$ ，${\displaystyle a=a}$ 。

这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。

对称性

例子：如果${\displaystyle a=b}$ ，那么${\displaystyle b=a}$ 

传递性

例子：如果${\displaystyle a=b}$ ，${\displaystyle b=c}$ ，那么${\displaystyle a=c}$ 

实数或其他对象上的二元关系“约等于”，即使进行精确定义，也不具有传递性（即使看上去有，但许多小的差能够叠加成非常大）。然而，在绝大多数情况下，等于具有传递性。

尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质，但它们能够通过替代性和自反性证明得到。

符号的历史

主条目：等號

「等于」符号或 「${\displaystyle =}$ 」被用来表示一些算术运算的结果，是由罗伯特·雷科德在1557年发明的。

由于觉得书写文字过于麻烦，雷科德在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长，表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。

约等于的符号是${\displaystyle \approx }$ 或≒，不等于的符号是${\displaystyle \neq }$ 。

参见

• 等号

外部链接