此條目需要补充更多来源 。(2020年9月19日 ) 请协助補充多方面可靠来源 以改善这篇条目，无法查证 的内容可能會因為异议提出 而移除。"当且仅当" — 网页、新闻、书籍、学术、图像 ），以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源（判定指引 ）。
当且仅当 （英語：if and only if ，iff ），在數位邏輯中，逻辑算符 反互斥或閘 Exclusive NOR ）是对两个运算元 的一种邏輯分析 类型，符号为XNOR 或ENOR 或 ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } 邏輯或非 NOR不同，當兩兩數值相同為是，而數值不同時為否。在数学 、哲学 、逻辑学 以及其他一些技术性领域中被用来表示“在这个条件成立，并且仅在这个条件成立时”之意。当命题 p , q {\displaystyle p,q} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} 等价 的说法有“ q {\displaystyle q} p {\displaystyle p} [註 1] p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} 充分必要条件 （充要條件）”；“ p {\displaystyle p} 等价 于 q {\displaystyle q}
「当且仅当」的各地常用別名 中国大陸 当且仅当 臺灣 若且唯若 港澳 當且僅當
一般而言，當我們看到“当且仅当 p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p}
当且仅当 标记 与此相对应的逻辑符号是 ↔ {\displaystyle \leftrightarrow } ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } 一阶逻辑 而非命题逻辑 对此有所区别，在那里前者被用来表示逻辑公式，后者表示那些公式的推理（譬如说在元逻辑中）。
证明 设 p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} 命题 ，在证明 “当且仅当 p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p}
有关英语缩写iff 的开端 在出版物中，英语iff 约翰·L·凯利 的《一般拓扑学》中。它的发明通常被认为是归于数学家 保罗·哈尔莫斯 ，但在哈尔莫斯的自传中却声明该标记另有出处，他只是首先在数学领域使用[1]
“当”与“当且仅当” 简单地，如下的两个例子可以说明这两者的不同：
当 冰淇淋 是香草 口味的，则小王会吃这个冰淇淋。 这等于说：如果冰淇淋是香草口味的，那么小王一定会吃这个冰淇淋。 当且仅当 冰淇淋是香草口味，则小王会吃这个冰淇淋。 这等于说：如果冰淇淋是香草口味的，那么小王一定会吃这个冰淇淋；并且，如果小王吃冰淇淋，那么这个冰淇淋一定是香草口味的。 第1句指小王一定会吃香草口味的冰淇淋，但没有排除他会吃香草口味以外冰淇淋的可能性，能肯定的是他不会拒绝香草口味的冰淇淋。
第2句指小王一定吃且只吃 香草口味的冰淇淋，他不会吃其它口味的冰淇淋。
进一步的思考 用「当且仅当」连接两个句子造成的句子被称为是“双条件句”。“当且仅当”把两个句子结合成新的句子。它不应该跟描述两个句子之间关系的“逻辑等价 ”混淆。
双条件句“当且仅当 p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q}
相对照的，“ p {\displaystyle p} q {\displaystyle q}
这里的区别非常容易混淆，已经使得很多哲学家迷惑。当然，在“ p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q}
很清楚，对于这个特定的双条件句，两个半句之间并没有逻辑等价。[2]
在哲学和逻辑学中，“当且仅当”通常用作定义 ，因为定义被认为是全称量化 的双条件句。但在数学中，相比起“当且仅当”，如果 通常被用于定义。这里给出一些使用到“当且仅当的”真陈述，也是真双条件句（第一句是一个定义的例子）：
当且仅当一个人是未婚且可结婚的男人，则他是单身男性。 当且仅当 x = 1 {\displaystyle x=1} x + 1 = 2 {\displaystyle x+1=2} 对于任意命题 p , q , r {\displaystyle p,q,r} ( p ∧ q ) ∧ r {\displaystyle (p\land q)\land r} p ∧ ( q ∧ r ) {\displaystyle p\land (q\land r)}
更一般的用法 “当且仅当”在逻辑领域以外，在数学出版物或者普通的谈话中也会用到。如同上面所说，它指的是某个陈述是另外一个的充分必要条件。这是一个数学术语的例子。
注解
参考文献 ^ Nicholas J. Higham. Handbook of writing for the mathematical sciences 2nd. SIAM. 1998: 24 [2012-09-28 ] . ISBN 978-0-89871-420-3 ^ Quine, W. V. 《數理邏輯，第5節》.
参见
当且仅当, 此條目需要补充更多来源, 2020年9月19日, 请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的内容可能會因為异议提出而移除, 致使用者, 请搜索一下条目的标题, 来源搜索, 网页, 新闻, 书籍, 学术, 图像, 以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源, 判定指引, 英語, only, 在數位邏輯中, 逻辑算符反互斥或閘, 英語, exclusive, 是对两个运算元的一种邏輯分析类型, 符号为xnor或enor或, displaystyle, leftrightarrow, 与一般的邏輯或非. 此條目需要补充更多来源 2020年9月19日 请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目 无法查证的内容可能會因為异议提出而移除 致使用者 请搜索一下条目的标题 来源搜索 当且仅当 网页 新闻 书籍 学术 图像 以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源 判定指引 当且仅当 英語 if and only if iff 在數位邏輯中 逻辑算符反互斥或閘 英語 Exclusive NOR 是对两个运算元的一种邏輯分析类型 符号为XNOR或ENOR或 displaystyle Leftrightarrow 与一般的邏輯或非NOR不同 當兩兩數值相同為是 而數值不同時為否 在数学 哲学 逻辑学以及其他一些技术性领域中被用来表示 在这个条件成立 并且仅在这个条件成立时 之意 当命题p q displaystyle p q 满足 当p displaystyle p 则q displaystyle q 且 仅当p displaystyle p 则q displaystyle q 时 称为 当且仅当p displaystyle p 则q displaystyle q 其他等价的说法有 q displaystyle q 当且仅当p displaystyle p 註 1 p displaystyle p 是q displaystyle q 的充分必要条件 充要條件 p displaystyle p 等价于q displaystyle q 当且仅当 的各地常用別名中国大陸当且仅当臺灣若且唯若港澳當且僅當 当且仅当的逻辑符号 一般而言 當我們看到 当且仅当p displaystyle p 则q displaystyle q 我們可以知道 如果p displaystyle p 成立時 則q displaystyle q 一定成立 如果q displaystyle q 成立時 則p displaystyle p 也一定成立 如果p displaystyle p 不成立時 則q displaystyle q 一定不成立 如果q displaystyle q 不成立時 則p displaystyle p 也一定不成立 目录 1 当且仅当 1 1 标记 1 2 证明 1 3 有关英语缩写iff 的开端 2 当 与 当且仅当 3 进一步的思考 4 更一般的用法 5 注解 6 参考文献 7 参见当且仅当 编辑标记 编辑 与此相对应的逻辑符号是 displaystyle leftrightarrow 和 displaystyle Leftrightarrow 这两个通常被当作是相等的 但是 一些数学教科书 特别是那些关于一阶逻辑而非命题逻辑对此有所区别 在那里前者被用来表示逻辑公式 后者表示那些公式的推理 譬如说在元逻辑中 证明 编辑 设p displaystyle p 与q displaystyle q 為两命题 在证明 当且仅当p displaystyle p 则q displaystyle q 时 这相当于去同时证明陈述 如果p displaystyle p 成立 则q displaystyle q 成立 和 如果q displaystyle q 成立 则p displaystyle p 成立 另外 也可以证明 如果p displaystyle p 成立 则q displaystyle q 成立 和 如果p displaystyle p 不成立 则q displaystyle q 不成立 后者作为对偶 等价于 如果q displaystyle q 成立 则p displaystyle p 成立 有关英语缩写iff 的开端 编辑 在出版物中 英语iff的表示标记最早出现在约翰 L 凯利的 一般拓扑学 中 它的发明通常被认为是归于数学家保罗 哈尔莫斯 但在哈尔莫斯的自传中却声明该标记另有出处 他只是首先在数学领域使用 1 当 与 当且仅当 编辑简单地 如下的两个例子可以说明这两者的不同 当冰淇淋是香草口味的 则小王会吃这个冰淇淋 这等于说 如果冰淇淋是香草口味的 那么小王一定会吃这个冰淇淋 当且仅当冰淇淋是香草口味 则小王会吃这个冰淇淋 这等于说 如果冰淇淋是香草口味的 那么小王一定会吃这个冰淇淋 并且 如果小王吃冰淇淋 那么这个冰淇淋一定是香草口味的 第1句指小王一定会吃香草口味的冰淇淋 但没有排除他会吃香草口味以外冰淇淋的可能性 能肯定的是他不会拒绝香草口味的冰淇淋 第2句指小王一定吃且只吃香草口味的冰淇淋 他不会吃其它口味的冰淇淋 进一步的思考 编辑用 当且仅当 连接两个句子造成的句子被称为是 双条件句 当且仅当 把两个句子结合成新的句子 它不应该跟描述两个句子之间关系的 逻辑等价 混淆 双条件句 当且仅当p displaystyle p 则q displaystyle q 是用p displaystyle p 和q displaystyle q 来陈述p displaystyle p 和q displaystyle q 所描述的事件状况之间的关系 相对照的 p displaystyle p 逻辑等价于q displaystyle q 则注重两个句子 它只是陈述两个句子之间的关系 而不是它们所介绍的什么事情 这里的区别非常容易混淆 已经使得很多哲学家迷惑 当然 在 p displaystyle p 逻辑等价于q displaystyle q 时 当且仅当p displaystyle p 则q displaystyle q 为真 但是它的逆并不成立 让我们重新考虑上面的句子 当且仅当冰淇淋是香草口味 则小王会吃这个冰淇淋 很清楚 对于这个特定的双条件句 两个半句之间并没有逻辑等价 2 在哲学和逻辑学中 当且仅当 通常用作定义 因为定义被认为是全称量化的双条件句 但在数学中 相比起 当且仅当 如果通常被用于定义 这里给出一些使用到 当且仅当的 真陈述 也是真双条件句 第一句是一个定义的例子 当且仅当一个人是未婚且可结婚的男人 则他是单身男性 当且仅当x 1 displaystyle x 1 则x 1 2 displaystyle x 1 2 对于任意命题p q r displaystyle p q r 当且仅当 p q r displaystyle p land q land r 则p q r displaystyle p land q land r 更一般的用法 编辑 当且仅当 在逻辑领域以外 在数学出版物或者普通的谈话中也会用到 如同上面所说 它指的是某个陈述是另外一个的充分必要条件 这是一个数学术语的例子 注解 编辑 直譯自q if and only if p 並不符合漢語語法 参考文献 编辑 Nicholas J Higham Handbook of writing for the mathematical sciences 2nd SIAM 1998 24 2012 09 28 ISBN 978 0 89871 420 3 原始内容存档于2013 06 06 Quine W V 數理邏輯 第5節 参见 编辑 数学主题 技术主题 哲学主题 语言主题 充分必要条件 等价关系 等价符号 取自 https zh wikipedia org w index php title 当且仅当 amp oldid 74351228, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
文章 ，阅读，下载，免费，免费下载，mp3，视频，mp4，3gp， jpg，jpeg，gif，png，图片，音乐，歌曲，电影，书籍，游戏，游戏。