^Eli Maor. The Story of a Number. Princeton University Press. : p.116. ISBN 0-691-05854-7. 引文格式1维护:冗余文本 (link)
十月 06, 2023
洛必达法则, 洛必達法則, 法語, règle, hôpital, 英語, hôpital, rule, 是利用導數來計算具有不定型的極限的方法, 該法則以法國數學家纪尧姆, 洛必达的名字命名, 但實际上是由瑞士數學家約翰, 伯努利, 所發現, 目录, 敘述, 證明, 例子, 参阅, 参考文献, 来源, 参考敘述, 编辑洛必達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值, 令c, displaystyle, mathbb, nbsp, 擴展實數, 兩函數f, displaystyle, nbsp, 在以x, displa. 洛必達法則 法語 Regle de L Hopital 英語 L Hopital s rule 是利用導數來計算具有不定型的極限的方法 該法則以法國數學家纪尧姆 德 洛必达的名字命名 但實际上是由瑞士數學家約翰 伯努利 1 所發現 目录 1 敘述 2 證明 3 例子 4 参阅 5 参考文献 5 1 来源 5 2 参考敘述 编辑洛必達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值 令c R displaystyle c in bar mathbb R nbsp 擴展實數 兩函數f x g x displaystyle f x g x nbsp 在以x c displaystyle x c nbsp 為端點的開區間可微 lim x c f x g x R displaystyle lim x to c frac f x g x in bar mathbb R nbsp 並且g x 0 displaystyle g x neq 0 nbsp 如果 lim x c f x lim x c g x 0 displaystyle lim x to c f x lim x to c g x 0 nbsp 或 lim x c f x lim x c g x displaystyle lim x to c f x lim x to c g x infty nbsp 其中一者成立 則稱欲求的極限lim x c f x g x displaystyle lim x to c frac f x g x nbsp 為未定式 此時洛必达法则表明 lim x c f x g x lim x c f x g x displaystyle lim x to c frac f x g x lim x to c frac f x g x nbsp 對於不符合上述分數形式的未定式 可以通過運算轉為分數形式 再以本法則求其值 以下列出數例 欲求的極限 條件 轉換為分數形式的方法 1 lim x c f x g x displaystyle lim x to c f x g x nbsp lim x c f x 0 lim x c g x displaystyle lim x to c f x 0 lim x to c g x infty nbsp lim x c f x g x lim x c f x 1 g x displaystyle lim x to c f x g x lim x to c frac f x 1 g x nbsp 或 lim x c g x 1 f x displaystyle lim x to c frac g x 1 f x nbsp 2 lim x c f x g x displaystyle lim x to c f x g x nbsp lim x c f x lim x c g x displaystyle lim x to c f x infty lim x to c g x infty nbsp lim x c f x g x lim x c 1 g x 1 f x 1 f x g x displaystyle lim x to c f x g x lim x to c frac 1 g x 1 f x 1 f x g x nbsp 3 lim x c f x g x displaystyle lim x to c f x g x nbsp lim x c f x 0 lim x c g x 0 displaystyle lim x to c f x 0 lim x to c g x 0 nbsp 或lim x c f x lim x c g x 0 displaystyle lim x to c f x infty lim x to c g x 0 nbsp lim x c f x g x exp lim x c g x 1 ln f x displaystyle lim x to c f x g x exp lim x to c frac g x 1 ln f x nbsp 4 lim x c f x g x displaystyle lim x to c f x g x nbsp lim x c f x 1 lim x c g x displaystyle lim x to c f x 1 lim x to c g x infty nbsp lim x c f x g x exp lim x c ln f x 1 g x displaystyle lim x to c f x g x exp lim x to c frac ln f x 1 g x nbsp 注意 不能在数列形式下直接用洛必達法則 因為對於離散變量是无法求导数的 但此时有形式类近的斯托尔兹 切萨罗定理 Stolz Cesaro theorem 作为替代 證明 编辑下面仅给出 lim x a f x lim x a g x 0 g a 0 displaystyle lim x to a f x lim x to a g x 0 g a neq 0 nbsp 的证明 设两函數f x displaystyle f x nbsp 及g x displaystyle g x nbsp 在a 點附近连续可导 f x displaystyle f x nbsp 及 g x displaystyle g x nbsp 都在 a 點連續 且其值皆為 0 f a 0 g a 0 lim x a f x 0 lim x a g x 0 displaystyle f a 0 g a 0 qquad lim x to a f x 0 lim x to a g x 0 nbsp 为了叙述方便 假设两函数在 a 点附近都不为0 另一方面 两函数的导数比值在 a 点存在 记为 lim x a f x g x L displaystyle lim x to a frac f x g x L nbsp 由極限的定义 对任何一个ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp 試想像y軸 都存在h gt 0 displaystyle eta gt 0 nbsp 試想像x軸 使得对任意的a h x a h x a displaystyle a eta leqslant x leqslant a eta x neq a nbsp 都有 L ϵ f x g x L ϵ displaystyle L epsilon leqslant frac f x g x leqslant L epsilon nbsp 而根据柯西中值定理 逆定理 对任意的a h x a h x a displaystyle a eta leqslant x leqslant a eta x neq a nbsp 都存在一个介于a displaystyle a nbsp 和x displaystyle x nbsp 之间的数3 displaystyle xi nbsp 使得 f x g x displaystyle frac f x g x nbsp f x f a g x g a f 3 g 3 displaystyle frac f x f a g x g a frac f xi g xi nbsp 于是 L ϵ f x g x L ϵ displaystyle L epsilon leqslant frac f x g x leqslant L epsilon nbsp 因此 极限lim x a f x g x L lim x a f x g x displaystyle lim x to a frac f x g x L lim x to a frac f x g x nbsp 例子 编辑lim x 0 sin p x p x displaystyle lim x to 0 frac sin pi x pi x nbsp lim x 0 sin x x displaystyle lim x to 0 frac sin x x nbsp lim x 0 cos x 1 displaystyle lim x to 0 frac cos x 1 nbsp 1 1 1 displaystyle frac 1 1 1 nbsp lim x 0 2 sin x sin 2 x x sin x displaystyle lim x to 0 2 sin x sin 2x over x sin x nbsp lim x 0 2 cos x 2 cos 2 x 1 cos x displaystyle lim x to 0 2 cos x 2 cos 2x over 1 cos x nbsp lim x 0 2 sin x 4 sin 2 x sin x displaystyle lim x to 0 2 sin x 4 sin 2x over sin x nbsp lim x 0 2 cos x 8 cos 2 x cos x displaystyle lim x to 0 2 cos x 8 cos 2x over cos x nbsp 2 cos 0 8 cos 0 cos 0 displaystyle 2 cos 0 8 cos 0 over cos 0 nbsp 6 displaystyle 6 nbsp lim x 0 r x 1 x displaystyle lim x to 0 r x 1 over x nbsp lim x 0 d d x r x d d x x displaystyle lim x to 0 frac d dx r x over frac d dx x nbsp lim x 0 r x ln r 1 displaystyle lim x to 0 r x ln r over 1 nbsp ln r lim x 0 r x displaystyle ln r lim x to 0 r x nbsp ln r displaystyle ln r nbsp lim x 0 e x 1 x x 2 lim x 0 e x 1 2 x lim x 0 e x 2 1 2 displaystyle lim x to 0 e x 1 x over x 2 lim x to 0 e x 1 over 2x lim x to 0 e x over 2 1 over 2 nbsp lim x x ln x lim x 1 2 x 1 x lim x x 2 displaystyle lim x to infty frac sqrt x ln x lim x to infty frac frac 1 2 sqrt x frac 1 x lim x to infty frac sqrt x 2 infty nbsp lim x x n e x lim x x n e x lim x n x n 1 e x n lim x x n 1 e x 0 displaystyle lim x to infty x n e x lim x to infty x n over e x lim x to infty nx n 1 over e x n lim x to infty x 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left 1 left 2 alpha f 0 t right 2 right nbsp s i n c 1 2 a p 2 2 displaystyle mathrm sinc left frac 1 2 alpha right cdot left frac frac pi 2 2 right nbsp sin p 2 a a 2 displaystyle sin left frac pi 2 alpha right cdot frac alpha 2 nbsp 参阅 编辑极限参考文献 编辑来源 编辑 L Hopital s Rule 2020 10 20 原始内容存档于2020 12 31 参考 编辑 Eli Maor The Story of a Number Princeton University Press p 116 ISBN 0 691 05854 7 引文格式1维护 冗余文本 link 取自 https zh wikipedia org w index php title 洛必达法则 amp oldid 77884920, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,