Henderson, D.W. A short proof of Wedderburn's theorem. Amer. Math. Monthly. 1965, 72: 385–386. doi:10.2307/2313499.
Lam, Tsit-Yuen, A First Course in Noncommutative Rings 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2001, ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0
单环, 此條目翻譯品質不佳, 2021年8月31日, 翻譯者可能不熟悉中文或原文語言, 也可能使用了機器翻譯, 請協助翻譯本條目或重新編寫, 并注意避免翻译腔的问题, 明顯拙劣的翻譯請改掛, href, template, html, class, redirect, title, template, href, wikipedia, html, class, redirect, title, wikipedia, 提交刪除, 在环论中, 若某非无零因子环除了零理想, 英语, zero, ideal, 及其本身兩個. 此條目翻譯品質不佳 2021年8月31日 翻譯者可能不熟悉中文或原文語言 也可能使用了機器翻譯 請協助翻譯本條目或重新編寫 并注意避免翻译腔的问题 明顯拙劣的翻譯請改掛 a href Template D html class mw redirect title Template D d a a href Wikipedia CSD html G13 class mw redirect title Wikipedia CSD G13 a 提交刪除 在环论中 若某非无零因子环除了零理想 英语 Zero ideal 及其本身兩個理想外沒有其他双边理想 则称该环为单环 特别地 交换环是单环当且仅当它是一个域 单环的中心必是一個域 所以单环是该域上的一个結合代數 因此 单代数和单环是相同的概念 此外 一些参考文献 例如Lang 2002 或Bourbaki 2012 还要求该环是左阿廷环或右阿廷环 即半单环 在這種术语下 没有非平凡雙邊理想的非无零因子环被称为准单环 quasi simple 存在在自身上不是单模的单环 即单环可以有非平凡的左理想和 或右理想 例如域上的全矩阵环 它没有非平凡理想 因为M n R displaystyle M n R 的任何理想都具有M n I displaystyle M n I 的形式 其中I displaystyle I 是R displaystyle R 的理想 但却有非平凡的左理想 例如 某些固定列为零的矩阵组成的集合 根据阿廷 韦德伯恩定理 所有单左 右阿廷环都是除环上的矩阵环 特别地 如果一个单环是实数域上的有限維度向量空间 则它必然與实数域 複數域或四元數域上的矩阵环同構 单环 但非除环上的矩阵环的一个例子是外尔代数 英语 Weyl algebra 目录 1 特徵 2 例子 3 韋德伯恩定理 4 參考文獻特徵 编辑如果一個环不包含非平凡的雙邊理想 则它是一個單代数 单代数的直接示例是除法代数 其中每个非零元素都有一个乘法逆 比如四元数的实代数 此外 可以证明在除環中有元n n 矩阵的代数是單代數 实际上 它可以描述所有有限維度的单代数 直到同构為止 換言之 在其中心上的任何有限維度單代数与某个除法环上的矩阵代数 英语 Matrix algebra 同构 1907年 约瑟夫 韦德伯恩在其博士学位论文 論超复数 中證明這一件事 該論文出現於伦敦数学学会论文集裡 韋德伯恩在其论文中分類了单和半单代数 单代数是半单代数的构建块 在代数的意义上 任何有限維度的半单代数都是單代數的笛卡尔积 後來阿廷 韦德伯恩定理將韋德伯恩的結果廣義化到半单环 例子 编辑一個中心单代数 英语 Central simple algebra 有时称为布饒爾代数 是一个域F上的有限維度單代數 且該域的中心為F 设R为实数域 C为複數域 H为四元数域 R上的所有有限維度單代數都與R C或H上的矩陣環同構 R上的所有中心單代數都與R或H上的矩陣環同構 這些結果由弗罗贝尼乌斯定理 英语 Frobenius theorem real division algebras 得出 C上的所有有限維度單代數都是中心單代數 與C上的矩陣環同構 有限域上的所有有限維度的中心單代數都與該域上的矩陣環同構 對於一個交换环 下列四個性質都是等價的 作為半單環 作為约化 英语 reduced ring 阿廷环 作為克鲁尔维数為0的約化诺特环以及與域的有限直積同構 韋德伯恩定理 编辑主条目 阿廷 韦德伯恩定理 韋德伯恩定理描述具有可逆元素和最小左理想的環的特徵 左阿廷環的條件是第二條假設的廣義化 也就是說 所有此類的環都是除環上的n n 矩陣 直至同構為止 設D為一個除環 Mn D 為D上有元矩陣的環 因此 可以證明Mn D 中的所有左理想都用以下形式出現 M Mn D M的第 n1 nk行沒有元 對於某個固定 n1 nk 1 n 因此 Mn D 中最小理想的格式為 M Mn D 除第k行外其餘所有行都沒有元 對於某個給定的k 換言之 如果I是一個最小左理想 則I Mn D e 其中e是一個幂等矩阵 在 k k 元為1 在所有其他地方為0 此外 D與eMn D e 同構 左理想I可以視作eMn D e 上的右模 環Mn D 與該模上同胚的代數同構 以上例子引出了下列引理 引理 A是一個單位為1 冪等元素為e的環 其中AeA A 設I為左理想Ae 視作一個eAe上的右模 則A與I上同胚的代數同構 以Hom I 表示 證明 我們使用F a m am 定義 左規則表示 為F A Hom I 對於m I F是单射的 因為如果a I aAe 0 則aA aAeA 0 暗示a a 1 0 對於满射 設T Hom I 由於AeA A 元素1可以表達成1 Saiebi 因此 T m T 1 m T Saiebim S T aieebim S T aie ebim ST aie ebi m 由於表達式 ST aie ebi 不取決於m F是滿射的 引理證畢 從以上引理可以得出韋德伯恩定理 定理 韋德伯恩 如果A是一個有單位1和最小左理想I的環 則A與除環上n n 矩陣的環同構 證明eAe是一個除環 只需驗證引理的假設 即求一個冪等元素e使得I Ae 表明A是單環後可以得出A AeA 這個假設 參考文獻 编辑A A Albert Structure of algebras Colloquium publications 24 American Mathematical Society 2003 ISBN 0 8218 1024 3 P 37 Bourbaki Nicolas Algebre Ch 8 2nd Berlin New York Springer Verlag 2012 ISBN 978 3 540 35315 7 Henderson D W A short proof of Wedderburn s theorem Amer Math Monthly 1965 72 385 386 doi 10 2307 2313499 Lam Tsit Yuen A First Course in Noncommutative Rings 2nd Berlin New York Springer Verlag 2001 ISBN 978 0 387 95325 0 MR 1838439 doi 10 1007 978 1 4419 8616 0 Lang Serge Algebra 3rd Berlin New York Springer Verlag 2002 ISBN 978 0387953854 Jacobson Nathan Basic algebra II 2nd W H Freeman 1989 ISBN 978 0 7167 1933 5 取自 https zh wikipedia org w index php title 单环 amp oldid 68715236, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
