σ-代数

在數學中，某個集合 X 上的 σ-代数又叫 σ-域，是 X 的冪集的子集合（X 的冪集即包含所有 X 的子集的集合系）。这个子集满足对于補集运算和可數個聯集运算的封闭性（因此对于可數個交集运算也是封闭的）。σ-代数在測度論裡可以用来定义所谓的“可测集合”，是测度论的基础概念之一。

σ-代数的概念大约起始于二十世纪的前三十年，它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数（得名于法国数学家埃米·波莱尔），以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中，σ-代数不仅仅是用于建立公理体系，也是一个强有力的工具，在定义许多重要的概念如条件期望和鞅的时候，都需要用到。

动机

σ-代数的提出有至少三个作用：定义测度，操作集合的极限，以及管理集合所表示的部分信息。

测度

测度是给$X$ 的子集赋予非负实数值的函数；可以把测度想成给集合的一个精确的“大小”或“体积”的定义。直觉上来讲，若干个互不相交集合的并集的大小应当等于它们各自的大小之和，即使有无穷多个这样的不交集。

定义

讓 $X$  为非空集合，集合系 ${\mathcal {F}}$  中的元素是 ${\mathcal {P}}(X)$  的子集合，满足以下条件的集合系 ${\mathcal {F}}$  称为 $X$  上的一个 σ-代数：^[1][2]

• $X$  是集合系 ${\mathcal {F}}$  中的元素；
• 如果集合 $A$  在 ${\mathcal {F}}$  中，那么它的補集 $A^{c}$ 也在${\mathcal {F}}$ 中；
• 如果有可數个集合 ${\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots }$  都在 ${\mathcal {F}}$  中，那么它们的聯集也在${\mathcal {F}}$  中。

以上條件用数学语言来表示，就是：

$X$  為一集合，假設有集合系 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ，其中 ${\mathcal {P}}(X)$  代表 $X$  的冪集，若 ${\mathcal {F}}$  滿足下列條件

• $X\in {\mathcal {F}};$ 
• ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}\;\Rightarrow \;A^{c}\in {\mathcal {F}};}$ 
• ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {F}},\;\forall n\in \mathbb {N} \;\Rightarrow \;\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {F}}.}$ 

則稱集合系 ${\mathcal {F}}$  是 $X$  的 σ-代數。

在測度論裡 $\left(X,{\mathcal {F}}\right)$ 称为一个可测空间。 集合族 ${\mathcal {F}}$  中的元素，也就是 $X$  的某子集，称为可测集合。而在概率论中，这些集合被称为随机事件。

例子

• 有两个σ-代数的簡單例子，它们分别是：
  1. $X$ 上含集合最少的σ-代数$\{\emptyset ,X\}$ ；
  2. $X$ 上含集合最多的σ-代数是$X$ 的冪集$2^{X}:=\{A:A\subset X\}$ 。
• 假设集合$X=\{a,b,c,d\}$ ，那么${\mathcal {F}}=\{\varnothing ,\{a\},\{b,c,d\},X\}$  是集合$X$ 上的一个σ-代数。这也是所有包含$\{a\}$ 的σ-代数中最“小”的一个。

性质

σ-代数是一个代数也是一个λ系，它对集合的交集、聯集、差集、可數交集、可數聯集运算都是封闭的。

参考来源

1. Paul Halmos. Measure Theory. Van Nostrand. 1950. ，第28页
2. Marc Briane & Gilles Pagès. Théorie de l'intégration. Vuibert. 2000. ISBN 2-7117-8946-2. ，第45-46页