极限点, 英語, limit, point, 在数学中是指可以被集合s中的点, 随意逼近的點, 这个概念有益的推广了极限的概念, 并且是諸如闭集和拓扑閉包等概念的基础, 实际上, 一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的, 而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的来扩充一个集合, 目录, 定义, 特殊类型的極限點, 会聚点, 度量空间的聚集点, 性质, 注释, 引用定义, 编辑a, displaystyle, nbsp, 为拓扑空间, displaystyle, nbsp, 其拓撲為, displaystyle, su. 极限点 英語 Limit point 在数学中是指可以被集合S中的点 註 1 随意逼近的點 註 2 这个概念有益的推广了极限的概念 并且是諸如闭集和拓扑閉包等概念的基础 实际上 一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点 而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合 註 3 目录 1 定义 2 特殊类型的極限點 2 1 w 会聚点 2 2 度量空间的聚集点 3 性质 4 注释 5 引用定义 编辑A displaystyle A nbsp 为拓扑空间 X displaystyle X nbsp 其拓撲為 t P X displaystyle tau subseteq P X nbsp 的子集且 x X displaystyle x in X nbsp 若所有 x displaystyle x nbsp 的开集也包含至少一个 A displaystyle A nbsp 內的非x的点 即 O t x O a O a A a x displaystyle forall O in tau x in O Rightarrow exists a in O a in A wedge a neq x nbsp 稱 x displaystyle x nbsp 為 A displaystyle A nbsp 的极限点 注意到 x displaystyle x nbsp 不一定属于 A displaystyle A nbsp 由 A displaystyle A nbsp 內所有極限點所組成的集合稱為 A displaystyle A nbsp 的導集 標記為A displaystyle A prime nbsp 在T1空間裡 上述定義和要求 x displaystyle x nbsp 的每個鄰域皆包含無限多個 A displaystyle A nbsp 的點是等價的 註 4 另外 若X為序列空間 則可稱x X為S的極限點 若且唯若存在一個由S x 的點組成的w序列 其極限為x 這也是 極限點 此一名稱的由來 特殊类型的極限點 编辑如果包含x的所有开集都包含无限多个S的点 则x是特殊类型极限点 称为S的w 会聚点 w accumulation point 如果包含x displaystyle x nbsp 的所有開集都包含不可数多個S displaystyle S nbsp 的點 則x displaystyle x nbsp 是特殊类型的极限点 稱為S displaystyle S nbsp 的缩合点 condensation point w 会聚点 编辑 在度量空间中 w 会聚点与普通的极限点定义等价 在拓扑空间中 两者概念不再等价 对于非强拓扑空间 一个所有w 会聚点都属于本身的集合不一定是闭集 但一个所有极限点都属于本身 导集包含于自身 的集合必爲闭集 度量空间的聚集点 编辑 在带有度量函數 d displaystyle d nbsp 的度量空间 X displaystyle X nbsp 且有 A X displaystyle A subseteq X nbsp 和 x X displaystyle x in X nbsp 若對所有 ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp 存在 a A displaystyle a in A nbsp 值使得 0 lt d x a lt ϵ displaystyle 0 lt d x a lt epsilon nbsp 也就是 ϵ gt 0 a A 0 lt d x a lt ϵ displaystyle forall epsilon gt 0 exists a in A 0 lt d x a lt epsilon nbsp 這樣稱 x displaystyle x nbsp 是 A displaystyle A nbsp 的聚集点 cluster point 或会聚点 accumulation point 直觀上意為 x displaystyle x nbsp 可以被 A displaystyle A nbsp 裡的點 以度量 d displaystyle d nbsp 的意義上 無限制地逼近 應用上 a displaystyle a nbsp 為定義域的聚集點也是函數極限能在 a displaystyle a nbsp 上有定義的前提條件 性质 编辑关于极限点的性质 x displaystyle x nbsp 是S displaystyle S nbsp 的极限点 当且仅当它属于S displaystyle S nbsp x displaystyle x nbsp 的闭包 证明 根据闭包定义 某点属于某集合的闭包 当且仅当该点的所有邻域都和该集合相交 则有 x是S displaystyle S nbsp 的极限点 当且仅当所有x displaystyle x nbsp 的邻域都包含一个非x displaystyle x nbsp 的点属于S 当且仅当所有x displaystyle x nbsp 的邻域含有一个点属于S displaystyle S nbsp x 当且仅当x displaystyle x nbsp 属于S x displaystyle S x nbsp 的闭包 S displaystyle S nbsp 的闭包具有下列性质 S displaystyle S nbsp 的闭包等于S displaystyle S nbsp 和其導集的并集 证明 从左到右 设x displaystyle x nbsp 属于S displaystyle S nbsp 的闭包 若x displaystyle x nbsp 属于S 命题成立 若x S displaystyle x notin S nbsp 则所有x displaystyle x nbsp 的邻域都含有一个非x displaystyle x nbsp 的点属于S displaystyle S nbsp 也就是说 x是S displaystyle S nbsp 的极限点 x S displaystyle x in S nbsp 从右到左 设x displaystyle x nbsp 属于S 则明显地所有x displaystyle x nbsp 的邻域和S displaystyle S nbsp 相交 所以x displaystyle x nbsp 属于S displaystyle S nbsp 的闭包 若x displaystyle x nbsp 属于L S 则所有x displaystyle x nbsp 的邻域都含有一个非x displaystyle x nbsp 的点属于S 所以x displaystyle x nbsp 也属于S displaystyle S nbsp 的闭包 得证 上述结论的推论给出了闭集的性质 集合S displaystyle S nbsp 是闭集 当且仅当它含有所有它的极限点 证明1 S是闭集 当且仅当S displaystyle S nbsp 等于其闭包 当且仅当S displaystyle S nbsp S displaystyle S nbsp L S 当且仅当L S 包含于S 证明2 设S displaystyle S nbsp 是闭集 x displaystyle x nbsp 是S displaystyle S nbsp 的极限点 则x displaystyle x nbsp 必须属于S 否则S displaystyle S nbsp 的补集为x displaystyle x nbsp 的开邻域 和S displaystyle S nbsp 不相交 相反 设S displaystyle S nbsp 包含所有它的极限点 需要证明S displaystyle S nbsp 的补集是开集 设x displaystyle x nbsp 属于S displaystyle S nbsp 的补集 根据假设 x不是极限点 则存在x displaystyle x nbsp 的开邻域U和S displaystyle S nbsp 不相交 则U在S displaystyle S nbsp 的补集中 则S displaystyle S nbsp 的补集是开集 孤点不是任何集合的极限点 证明 若x displaystyle x nbsp 是孤点 则 x 是只含有x displaystyle x nbsp 的x displaystyle x nbsp 的邻域 空间x displaystyle x nbsp 是离散空间 当且仅当x displaystyle x nbsp 的子集都没有极限点 证明 若x displaystyle x nbsp 是离散空间 则所有点都是孤点 不能是任何集合的极限点 相反 若x displaystyle x nbsp 不是离散空间 则单元素集合 x 不是开集 那么 所有 x 的邻域都含有点y x 则x displaystyle x nbsp 是x displaystyle x nbsp 的极限点 若空间x displaystyle x nbsp 有密着拓扑 且S displaystyle S nbsp 是x displaystyle x nbsp 的多于一个元素的子集 则x displaystyle x nbsp 的所有元素都是S displaystyle S nbsp 的极限点 若S displaystyle S nbsp 是单元素集合 则所有x displaystyle x nbsp S displaystyle S nbsp 的点仍然是S displaystyle S nbsp 的极限点 说明 只要S displaystyle S nbsp x 非空 它的闭包就是X 只有当S displaystyle S nbsp 是空集或x displaystyle x nbsp 是S displaystyle S nbsp 的唯一元素时 它的闭包才是空集 注释 编辑 不包含极限点本身 非正式的说法是在拓扑空间 X 中的一个集合 S 的极限点x可以被除x以外的集合内任意点逼近 一个有关的概念是序列的聚集点 cluster point 或会聚点 accumulation point 在定义中使用 开邻域 的形式来证明一个点是极限点 使用 一般邻域 的形式来得到一个已知极限点的性质 這樣通常會比較輕鬆 引用 编辑limit point PlanetMath 取自 https zh wikipedia org w index php title 极限点 amp oldid 75950273, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,