邻域

  关于圖論中，與某頂點相鄰的點集，请见「鄰域 (圖論)（英语：Neighbourhood (graph theory)）」。

在集合论中，邻域（英語：Neighbourhood）指以点 a 为中心的任何开区间，记作：U(a)。

在平面上集合V是点p的邻域，如果围绕p小圆盘包含在V中。

矩形不是它的任何一角的邻域。

在拓扑学和相关的数学领域中，邻域是拓扑空间中的基本概念。直觉上说，一个点的邻域是包含这个点的集合，並且該性質是外延的：你可以稍微“抖动”一下这个点而不离开这个集合。

定义

在集合论中，有以下几种邻域：

${\displaystyle \delta }$ 邻域：${\displaystyle U(a,\delta )=(a-\delta ,a+\delta )=\left\{x\mid |x-a|<\delta \right\}}$ 

去心邻域：${\displaystyle U_{0}(a,\delta )=\left\{x\mid 0<|x-a|<\delta \right\}}$ 

左邻域：${\displaystyle (a-\delta ,a)}$ 

右邻域：${\displaystyle (a,a+\delta )}$ 

在拓扑学中，拓扑空间X，A，B⊆X，称B是A的邻域，当且仅当以下条件之一成立：

• 存在开集C，使得A⊆C⊆B。
• A⊆B^o。（B^o是B的内部）

开邻域，闭邻域

若B是开集，则B称为A的开邻域；若B是闭集，则B称为A的闭邻域。

邻域系统

设x∈X，则{x}所有邻域的集合U(x)，称为x（或{x}）的邻域系。

注意：某些作者要求邻域是开集，所以在阅读文献时注意约定是很重要的。

如果S是X的子集，S的邻域是集合V，它包含了包含S的开集U。可得出集合V是S的邻域，当且仅当它是在S中的所有点的邻域。

鄰域的度量空间定義

 

平面上的集合S和S的一致邻域V。

在度量空间M = (X,d)中，集合V是点p的邻域，如果存在以p为中心和半径为r的开球，

${\displaystyle B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}}$ 

它被包含在V中。

一致邻域

V叫做集合S的一致邻域（uniform neighborhood），如果存在正数r使得对于S的所有元素p，

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}}$ 

被包含在V中。

对于r>0集合S的r-邻域${\displaystyle S_{r}}$ 是X中与S的距离小于r的所有点的集合(或等价的说${\displaystyle S_{r}}$ 是以S中一个点为中心半径为r的所有开球的并集)。

可直接得出r-邻域是一致邻域，并且一个集合是一致邻域当且仅当它包含对某个r值的r-邻域。
參見一致空間。

非一致邻域的例子

给定实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$ 带有平常的欧几里得度量和如下定义的子集V

${\displaystyle V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,{\frac {1}{n}}\right)}$ ，

则V是自然数集合N的邻域，但它不是这个集合的均匀邻域，因為${\displaystyle r={\frac {1}{n}}}$ 並不是一個固定值。

去心邻域

点 ${\displaystyle p}$  的去心邻域（英語：deleted neighborhood 或 punctured neighborhood）是点 ${\displaystyle p}$  的邻域中减去 ${\displaystyle \{p\}}$  后得到的差集。例如，区间 ${\displaystyle (-1,1)=\{y:-1<y<1\}}$  是 ${\displaystyle p=0}$  在实数轴上的邻域，因此集合 ${\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}}$  是 ${\displaystyle p=0}$  的一个去心邻域。需注意的是，给定点的去心邻域实际上不是该点的邻域。在讨论函数极限时，会用到去心邻域的概念。

基于邻域的拓扑

上述定义適用於开集的概念早已定义的情況。有另一种方式来定义拓扑，也就是先定义邻域系统，再定义开集：若集中每个点皆有一個邻域被包含於集中，則為開集。

在X上的邻域系统是滤子N(x)(在集合X上)到每个X中的x的指派，使得

1. 点x是每个N(x)中的U的元素，
2. 每个N(x)中的U包含某个N(x)中的V使得对于每个V中的y有着U在N(y)中。

可以证明这两个定义是兼容的，就是说从使用开集定义的邻域系统获得的拓扑就是最初的拓扑，反之从邻域系统出发亦然。

引用

• Kelley, John L. General topology. New York: Springer-Verlag. 1975. ISBN 0387901256. 

• Bredon, Glen E. Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0387979263. 

• Kaplansky, Irving. Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. 2001. ISBN 0821826948. 

参见

• 局部基
• 第一可数空间
• 管状邻域