邻域系

定义

${\displaystyle X}$ 的映射${\displaystyle {\mathfrak {U}}:X\to P(P(X))}$ （${\displaystyle P(P(X))}$ 指${\displaystyle X}$ 的幂集的幂集）。这样${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ 将${\displaystyle X}$ 的每个点${\displaystyle x}$ 映射至${\displaystyle X}$ 的子集族${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 。${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 称为${\displaystyle x}$ 的邻域系（或称邻域系统，${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 的元素称为${\displaystyle x}$ 的邻域），当且仅当对任意的${\displaystyle x\in X}$ ，${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 满足如下邻域公理：

• U₁：若${\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(x)}$ ，则${\displaystyle x\in U}$ 。
• U₂：若${\displaystyle U,V\in {\mathfrak {U}}(x)}$ ，则${\displaystyle U\cap V\in {\mathfrak {U}}(x)}$ 。（邻域系对邻域的有限交封闭）。
• U₃：若${\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(x)}$ ，${\displaystyle U\subseteq V\subseteq X}$ ，则${\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}(x)}$ 。
• U₄：若${\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(x)}$ ，则存在${\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}(x)}$ ，使${\displaystyle V\subseteq U}$ 且对所有${\displaystyle y\in V}$ ，有${\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}(y)}$ 。

从邻域出发定义其它拓扑空间的基础概念：

• 从邻域定义开集：${\displaystyle X}$ 的子集${\displaystyle O}$ 是开集，当且仅当对任意${\displaystyle x\in O}$ ，有${\displaystyle O\in {\mathfrak {U}}(x)}$ 。（${\displaystyle O}$ 是其中每个点的邻域）。
• 从邻域定义开核：${\displaystyle X}$ 的子集${\displaystyle A}$ 的开核${\displaystyle A^{\circ }=\{x|\exists U\in {\mathfrak {U}}(x),U\subseteq A\}}$ 。
• 从邻域定义闭包：${\displaystyle X}$ 的子集${\displaystyle A}$ 的闭包${\displaystyle {\overline {A}}=\{x|\forall U\in {\mathfrak {U}}(x),U\cap A\neq \varnothing \}}$ 。

参照滤子的定义。给定点x，其邻域系${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 恰构成了一个滤子，称为邻域滤子。

邻域基

点${\displaystyle x}$ 的邻域基或局部基${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)}$ ，就是邻域滤子${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 的滤子基。它是${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 的子集，满足：每个x的邻域 ${\displaystyle U}$  都存在${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(x)}$ ，使${\displaystyle B\subseteq U}$ 。

（${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)\subseteq {\mathfrak {U}}(x)}$ ，使${\displaystyle \forall U\in {\mathfrak {U}}(x)}$ ，${\displaystyle \exists B\in {\mathcal {B}}(x):B\subseteq U}$ ）

反之，给出邻域基${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)}$ ，可以反推出相应的邻域滤子：${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)=\{U|\exists B\in {\mathcal {B}}(x),B\subseteq U\subseteq X\}}$ 。^[1]

例子

• 一个点的邻域系也平凡的是这个点的邻域基。

• 若拓扑空间X是不可分拓扑，则任何点 x 的邻域系是整个空间${\displaystyle {\mathcal {V}}(x)=\{X\}}$ 

• 在度量空间中，对于任何点 x，围绕 x 有半径 1/n 的开球序列形成可数邻域基 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)=\{B_{1/n}(x);n\in \mathbb {N} ^{*}\}}$ 。这意味着所有度量空间都是第一可数的。

• 在半赋范空间中，就是带有由半范数引发的拓扑的向量空间，所有邻域系统可以通过点 0 的邻域系统的平移来构造，

${\displaystyle {\mathcal {V}}(x)={\mathcal {V}}(0)+x}$ 。

这是因为向量加法在引发的拓扑中是分离连续的。所以这个拓扑确定自它的在原点的邻域系。更一般的说，只要拓扑是通过平移不变度量或伪度量定义的以上结论就是真的。

• 非空集合 A 的所有邻域系是叫做 A 的邻域滤子的滤子。

• 拓扑空间 X 中所有点 x 的局部基的并集是 X 的基。

参见

• 邻域
• 基 (拓扑学)
• 局部凸拓扑向量空间
• 滤子 (数学)

註釋

1. Stephen Willard, General Topology (1970) Addison-Wesley Publishing (See Chapter 2, Section 4)