基 (拓撲學)

在拓扑学的相关领域中，拓撲基(base 或 basis) 是一群子集，可以由它們的任意并集構成一個拓扑結構。基在拓扑学的作用在於許多拓撲的性質可轉換成基的性質，像是拓撲意義下的连续就可以直接對基來做定義。

動機

定義拓撲基的動機在於，若 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$  為集合 ${\displaystyle X}$  的一個子集族，怎樣能使 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  所有子集之并集的全體組成的 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$  ：

${\displaystyle {\mathcal {U}}:=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\bigg |}\,(\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=U\right)\right]\right\}}$ 

為 ${\displaystyle X}$  上的拓扑。事實上有以下的定理：

定理 — 
集合 ${\displaystyle X}$  有子集族 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$  ， 設 ：

${\displaystyle \tau :=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\bigg |}\,(\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=U\right)\right]\right\}}$ 

則「 ${\displaystyle \tau }$  為 ${\displaystyle X}$  上的拓扑 」，等價於以下兩條件：

• ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}=X}$ 
• 對所有 ${\displaystyle B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}}$  ，${\displaystyle B_{1}\cap B_{2}\in {\mathcal {U}}}$ 

證明

以下逐條檢驗拓扑的定義： (1) 等價於「 ${\displaystyle X\in {\mathcal {U}}}$ 」的條件 若 ${\displaystyle X\in {\mathcal {U}}}$  ，則： ${\displaystyle (\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=X\right)\right]}$ (a) 考慮到 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$  ，所以根據有无限并集性質的定理(1)與(2)有 ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}\subseteq X}$  但根據无限并集性質的定理(1)，(a)又等價於： ${\displaystyle (\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=X\right)\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}\right)\right]}$  所以有： ${\displaystyle X\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}}$  所以從 ${\displaystyle X\in {\mathcal {U}}}$  有： ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}=X}$  (a1) 反之若有 (a1)，因為 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {F}}}$  ，所以有 ${\displaystyle X\in {\mathcal {U}}}$  。故在本定理的前提下，(a1)等價於 ${\displaystyle X\in {\mathcal {U}}}$  。 (2) ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {U}}}$  首先考慮到 ${\displaystyle \varnothing \subseteq {\mathcal {F}}}$ ，然後從无限并集性質的定理(0)有 ${\displaystyle \varnothing =\bigcup \varnothing }$ ，故 ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {U}}}$ 。 (3) 對任意 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {U}}}$  有 ${\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathcal {U}}}$  首先，${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {U}}}$  可等價地展開為 ${\displaystyle (\forall A\in {\mathfrak {A}})(\exists {\mathcal {B}})\left[({\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {B}}=A\right)\right]}$ (b) 上式可直觀地解釋成「 ${\displaystyle A\in {\mathfrak {A}}}$  都是 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  內某些集合的并集」，既然如此，取一個蒐集各種不同 ${\displaystyle A}$  的子集的集族 ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}}$  ： ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}:=\left\{S\,|\,(\exists A)[(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (S\subseteq A)]\right\}}$  這樣根據有限交集的性質，${\displaystyle x\in \bigcup ({\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}\cap {\mathcal {F}})}$  等價於 ${\displaystyle (\exists S)\left\{(x\in S)\wedge (S\in {\mathcal {F}})\wedge (\exists A)\left[(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (S\subseteq A)\right]\right\}}$  考慮到一阶逻辑的定理(Ce)，將${\displaystyle (\exists A)}$  移至最前，再將${\displaystyle (\exists S)}$ 移入括弧內 ，上式就依據(Equv)而等價於 ${\displaystyle (\exists A)\left\{(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (\exists S)\left[(x\in S)\wedge (S\in {\mathcal {F}})\wedge (S\subseteq A)\right]\right\}}$  也就等價於 ${\displaystyle (\exists A)\left\{(A\in {\mathfrak {A}})\wedge \left(x\in \bigcup [{\mathcal {P}}(A)\cap {\mathcal {F}}]\right)\right\}}$  根據无限并集性質的定理(4)，從(b)有 ${\displaystyle (\forall A\in {\mathfrak {A}})(\exists {\mathcal {B}})\left\{({\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left\{A\subseteq \bigcup [{\mathcal {B}}\cap {\mathcal {P}}(A)]\right\}\right\}}$  這樣根據无限并集性質的定理(1)又會有 ${\displaystyle (\forall A\in {\mathfrak {A}})\left\{A\subseteq \bigcup [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)]\right\}}$  考慮到 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)\subseteq {\mathcal {P}}(A)}$  ，從无限并集性質的定理(1)與定理(2)有 ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)\subseteq A}$  所以最後從(b)有 ${\displaystyle (\forall A\in {\mathfrak {A}})\left\{A=\bigcup [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)]\right\}}$  所以 ${\displaystyle x\in \bigcup ({\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}\cap {\mathcal {F}})}$  最後等價於 ${\displaystyle (\exists A)\left[(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (x\in A)\right]}$  換句話說 ${\displaystyle x\in \bigcup {\mathfrak {A}}}$  這樣考慮到 ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}\cap {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {F}}}$  就有 ${\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A}}=\bigcup ({\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}\cap {\mathcal {F}})\in {\mathcal {U}}}$  所以在本定理的前提下， 對所有 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {U}}}$  都有 ${\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathcal {U}}}$  。 (4)等價於「 ${\displaystyle U,\,V\in {\mathcal {U}}}$  則 ${\displaystyle U\cap V\in {\mathcal {U}}}$ 」的條件 若 「對所有的 ${\displaystyle U,\,V\in {\mathcal {U}}}$  有 ${\displaystyle U\cap V\in {\mathcal {U}}}$ 」(P) 因取任意 ${\displaystyle B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}}$  都有： ${\displaystyle B_{1}=\bigcup \{B_{1}\}\in {\mathcal {U}}}$  ${\displaystyle B_{2}=\bigcup \{B_{1}\}\in {\mathcal {U}}}$  故 ${\displaystyle B_{1}\cap B_{2}\in {\mathcal {U}}}$  ，換句話說從假設(P)可以推出： 「對所有 ${\displaystyle B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}}$  ，${\displaystyle B_{1}\cap B_{2}\in {\mathcal {U}}}$ 」(P') 另一方面， ${\displaystyle U\cap V\in {\mathcal {U}}}$  可等價地展開為： ${\displaystyle (\exists {\mathcal {E}})\left\{({\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(U\cap V=\bigcup {\mathcal {E}}\right)\right\}}$  因為 ${\displaystyle U,\,V\in {\mathcal {U}}}$  可等價地展開為： ${\displaystyle (\exists {\mathcal {A}})\left[\left(U=\bigcup {\mathcal {A}}\right)\wedge ({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\right]}$  ${\displaystyle (\exists {\mathcal {B}})\left[\left(V=\bigcup {\mathcal {B}}\right)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}})\right]}$  所以在 ${\displaystyle U,\,V\in {\mathcal {U}}}$  的前提下 ${\displaystyle U\cap V\in {\mathcal {U}}}$  又可更進一步等價地展開為： ${\displaystyle (\exists {\mathcal {A}})(\exists {\mathcal {B}})(\exists {\mathcal {E}})\left\{({\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}},\,{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(U=\bigcup {\mathcal {A}}\right)\wedge \left(V=\bigcup {\mathcal {B}}\right)\wedge \left[\left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\cap \left(\bigcup {\mathcal {B}}\right)=\bigcup {\mathcal {E}}\right]\right\}}$  此時考慮到一阶逻辑的定理(Ce)，連續使用兩次會有： ${\displaystyle \left[x\in \left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\cap \left(\bigcup {\mathcal {B}}\right)\right]\Leftrightarrow (\exists A)(\exists B)[(A\in {\mathcal {A}})\wedge (B\in {\mathcal {B}})\wedge (x\in A\cap B)]}$  這樣的話，若取一個包含所有 ${\displaystyle A\cap B}$  的集族： ${\displaystyle {\mathcal {C}}:=\left\{S\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,(\exists A)(\exists B)[(A\in {\mathcal {A}})\wedge (B\in {\mathcal {B}})\wedge (S=A\cap B)]\right\}}$  這樣就有： ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {C}}=\left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\cap \left(\bigcup {\mathcal {B}}\right)}$  而且考慮到 ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}}}$  和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}}$  ，所以在(P')的前提下，所有的 ${\displaystyle A\cap B}$  都在 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$  裡，換句話說，${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {U}}}$  ，故從上小結的結果有： ${\displaystyle U\cap V\in {\mathcal {U}}}$  所以，(P')跟(P)等價。 綜合上面的(a1)、(a2)、和(P')，本定理得證。${\displaystyle \Box }$

一般會根據无限并集性質的定理(4)，將第二個條件等價的寫為：

「對所有 ${\displaystyle B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}}$  ， ${\displaystyle B_{1}\cap B_{2}=\bigcup [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(B_{1}\cap B_{2})]}$ 」也就等價於：

「所有的 ${\displaystyle B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}}$  ，對任意 ${\displaystyle x\in B_{1}\cap B_{2}}$  都存在 ${\displaystyle C\in [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(B_{1}\cap B_{2})]}$  使得 ${\displaystyle x\in C}$ 」

定義

由上面動機一節的定理，可以作如下的定義：

定義 — 
${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$  為集合 ${\displaystyle X}$  的一個子集族，若滿足：

• ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}=X}$ 　（基的元素覆蓋${\displaystyle X}$ ）
• 所有的 ${\displaystyle B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}}$  ，對任意 ${\displaystyle x\in B_{1}\cap B_{2}}$  都存在 ${\displaystyle C\in [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(B_{1}\cap B_{2})]}$  使得 ${\displaystyle x\in C}$ 

則稱 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  為 ${\displaystyle X}$  的一個拓撲基（Topological Basis）。而：

${\displaystyle \tau :=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\bigg |}\,(\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=U\right)\right]\right\}}$ 

則稱為由基 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  所生成的拓撲。

範例

在實數線中的開區間的搜集形成在實數線上的拓撲的基，因為任何兩個開區間的交集要么自身是開區間要么為空。

重要性質

定理 — 
${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  是集合 ${\displaystyle X}$  的拓撲基，則 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  生成的拓撲是包含 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  的最粗拓撲

證明

設 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  所生成的拓撲是 ${\displaystyle \tau _{\mathcal {B}}}$  ；另一方面包含 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  的最粗拓撲為 ${\displaystyle \tau ({\mathcal {B}})}$  。 根據最粗拓撲的定義有： ${\displaystyle \vdash (\forall S){\big \{}[S\in \tau ({\mathcal {B}})]\Leftrightarrow (\forall {\mathfrak {T}})\{[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})\}{\big \}}}$ (a) 那以量词公理(A4) 將 ${\displaystyle \forall S}$  去掉會有： ${\displaystyle \vdash [S\in \tau ({\mathcal {B}})]\Leftrightarrow (\forall {\mathfrak {T}})\{[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})\}}$  那再使用量词公理(A4)，配合(D1)會有： ${\displaystyle \vdash [S\in \tau ({\mathcal {B}})]\Rightarrow \{[(\tau _{B}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq \tau _{B})]\Rightarrow (S\in \tau _{B})\}}$  因為 ${\displaystyle \tau _{\mathcal {B}}}$  是 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  所生成的拓撲，配合(D2)有：（${\displaystyle {\mathcal {P}}}$  為 「${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  是 ${\displaystyle X}$  的拓撲基」的正式敘述） ${\displaystyle {\mathcal {P}}\vdash [S\in \tau ({\mathcal {B}})]\Rightarrow (S\in \tau _{B})}$  另一方面，根據拓撲基的定義有： ${\displaystyle {\mathcal {P}},\,S\in \tau _{B}\vdash (\exists {\mathcal {C}})\left[\left(S=\bigcup {\mathcal {C}}\right)\wedge ({\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}})\right]}$  而根據拓扑的定義(關於聯集的部分)與演繹定理會有： ${\displaystyle {\mathcal {P}},\,[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})],\,\left[\left(S=\bigcup {\mathcal {C}}\right)\wedge ({\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}})\right]\vdash (S\in {\mathfrak {T}})}$  這樣根據(GEN)與演繹定理就有： ${\displaystyle {\mathcal {P}},\,[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\vdash (\exists C)\left[\left(S=\bigcup {\mathcal {C}}\right)\wedge ({\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}})\right]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})}$  換句話說，從演繹定理與(D1)有： ${\displaystyle {\mathcal {P}},\,S\in \tau _{B}\vdash [({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})}$  那從普遍化元定理就有： ${\displaystyle {\mathcal {P}},\,S\in \tau _{B}\vdash (\forall {\mathfrak {T}})\{[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})\}}$  這樣從(a)，配合(AND)與(D1)就有： ${\displaystyle {\mathcal {P}},\,S\in \tau _{B}\vdash S\in \tau ({\mathcal {B}})}$  這樣從(AND)和演繹定理就有： ${\displaystyle {\mathcal {P}}\vdash (S\in \tau _{B})\Leftrightarrow [S\in \tau ({\mathcal {B}})]}$  套用(GEN)將 ${\displaystyle \forall S}$  重新加入就會有： ${\displaystyle {\mathcal {P}}\vdash \tau _{B}=\tau ({\mathcal {B}})}$  故本定理得証。${\displaystyle \Box }$

定理 — 
${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}}$  和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}}$  都是集合 ${\displaystyle X}$  的拓撲基，而 ${\displaystyle \tau _{1}}$  為 ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}}$  生成的拓撲； ${\displaystyle \tau _{2}}$  為 ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}}$  生成的拓撲，則以下兩敘述價

• ${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$ 
• ${\displaystyle (\forall B_{1}\in {\mathcal {B}}_{1})(\exists B_{2}\in {\mathcal {B}}_{2})(B_{2}\subseteq B_{1})}$ 

證明

• 如果 B₁,B₂,...,B_n 是拓撲 T₁,T₂,...,T_n 的基，則集合積 B₁ × B₂ × ... × B_n 是乘積拓撲 T₁ × T₂ × ... × T_n 的基。在無限乘積的情況下這仍適用，除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。
• 設 B 是 X 的基并設 Y 是 X 的子空間。那么如果我們交 B 的每個元素於 Y，結果的集合的搜集是子空間 Y 的基。
• 如果函數 f:X → Y 映射 X 的所有基元素到 Y 的一個開集，它是一個開映射。類似的，如果 Y 的一個基元素的所有原像在 X 中是開集，則 f 是連續函數。
• X 的子集的搜集是 X 上的拓撲當且僅當它生成自身。
• B 是拓撲空間 X 的基，當且僅當 B 的包含 x 的元素的子搜集形成在 x 上的局部基，對于 X 的任何點 x。
• 給定拓撲的一個基，要證明網或序列的收斂，在包含假定極限的所有基中的集合中最終證明它就是充分的。

依據基定義的對象

• 序拓撲通常定義為類似開區間的集合的搜集所生成的拓撲。
• 度量拓撲通常定義為開球的搜集生成的拓撲。
• 第二可數空間是有可數基的拓撲。
• 離散拓撲有由所有單元素集合組成的基。

閉集基

閉集同樣擅長描述空間的拓撲。因為有對於拓撲空間的閉集的對偶的基的概念。給定一個拓撲空間 X， X 的閉集基是閉集的集合族 F 使得任何閉集 A 是 F 的元素的交集。

等價的說，閉集族形成了閉集基，如果對於每個閉集 A 和每個不在 A 中的點 x，存在一個 F 的元素包含 A 但不包含 x。

容易檢查 F 是 X 的閉集基，當且僅當 F 的成員的補集的集合族是 X 的開集基。

設 F 是 X 的閉集基。則

1. ∩F = ∅
2. 對於每個 F₁ 和 F₂ 在 F 中，并集 F₁ ∪ F₂ 是 F 的某個子族的交集(就是說，對于任何不在 F₁ 或 F₂ 的 x，存在一個 F₃ 在 F 包含 F₁ ∪ F₂ 并不包含 x)。

滿足這些條件的集合 X 的任何子集搜集形成 X 上的拓撲的閉集基。這個拓撲的閉集完全就是 F 的成員的交集。

在某些情況下，更習慣使用閉集基而非開集基。例如，一個空間是完全正規空間，當且僅當它的零集形成了閉集基。給定任何拓撲空間 X，零集形成在 X 上某個拓撲的閉集基。這個拓撲將是 X上比最初的要粗的最細的完全正規拓撲。在類似的脈絡下，在 Aⁿ 上的 Zariski拓撲被定義為選取多項式函數的零集作為閉集基。

準基

若拓扑空間${\displaystyle X}$ 是最小的拓扑使得${\displaystyle X}$ 的子集的集${\displaystyle B}$ 都是${\displaystyle X}$ 的開集，則稱${\displaystyle B}$ 為${\displaystyle X}$ 的一個準基（subbasis/subbase）。另一等價的定義為，若${\displaystyle B}$ 及其所有有限交集構成了拓扑空間${\displaystyle X}$ 之基，則${\displaystyle B}$ 為準基。

例子：

• 在實數線上，所有長度為1的開區間便是一個準基。

J.W. 亞歷山大證明了：若每個準基覆盖都有一個有限個元素的子覆蓋，則此空間是緊緻的。

注釋

參考文獻

• James Munkres (1975) Topology: a First Course. Prentice-Hall.
• Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.