笛卡儿积, 笛卡儿平方, 重定向至此, 关于范畴论中的笛卡儿方形, 参见拉回, 范畴论, 本條目存在以下問題, 請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法, 此條目没有列出任何参考或来源, 2019年5月27日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除, 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充, 2020年8月20日, 若您熟悉来源语言和主题, 请协助参考外语维基百科扩充条目, 请勿直接提交机械翻译, 也不要翻译不可靠, 低品质内容, 依版权. 笛卡儿平方 重定向至此 关于范畴论中的笛卡儿方形 参见拉回 范畴论 本條目存在以下問題 請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法 此條目没有列出任何参考或来源 2019年5月27日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充 2020年8月20日 若您熟悉来源语言和主题 请协助参考外语维基百科扩充条目 请勿直接提交机械翻译 也不要翻译不可靠 低品质内容 依版权协议 译文需在编辑摘要注明来源 或于讨论页顶部标记 a href Template Translated page html title Template Translated page Translated page a 标签 在数学中 两个集合X displaystyle X 和Y displaystyle Y 的笛卡儿积 英語 Cartesian product 又称直积 在集合论中表示为X Y displaystyle X times Y 是所有可能的有序对組成的集合 其中有序對的第一个对象是X displaystyle X 的成员 第二个对象是Y displaystyle Y 的成员 A x y z displaystyle A x y z 與B 1 2 3 displaystyle B 1 2 3 的笛卡尔积 X Y x y x X y Y displaystyle X times Y left left x y right mid x in X land y in Y right 舉個實例 如果集合X displaystyle X 是13个元素的点数集合 A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2 displaystyle left A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2 right 而集合Y displaystyle Y 是4个元素的花色集合 displaystyle displaystyle 则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合 A displaystyle A K displaystyle K 2 displaystyle 2 A displaystyle A 3 displaystyle 3 2 displaystyle 2 displaystyle 笛卡儿积得名于笛卡儿 因為這概念是由他建立的解析几何引申出來 目录 1 笛卡儿积的性质 2 笛卡儿平方和n元乘积 3 无穷乘积 4 函数的笛卡儿积 5 参见 6 外部链接笛卡儿积的性质 编辑易见笛卡儿积满足下列性质 对于任意集合A displaystyle A 根据定义有A A displaystyle A times varnothing varnothing times A varnothing 一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律 笛卡儿积对集合的并和交满足分配律 即A B C A B A C displaystyle A times B cup C A times B cup A times C B C A B A C A displaystyle B cup C times A B times A cup C times A A B C A B A C displaystyle A times B cap C A times B cap A times C B C A B A C A displaystyle B cap C times A B times A cap C times A A B C D A C B D displaystyle A times B cap C times D A cap C times B cap D 若一個集合A displaystyle A 包含有無限多的元素 那這個集合對自身的笛卡爾積A A displaystyle A times A 有和A displaystyle A 一樣多的元素 笛卡儿平方和n元乘积 编辑集合X displaystyle X 的笛卡儿平方 或二元笛卡儿积 是笛卡儿积X X displaystyle X times X 一个例子是二维平面R R displaystyle R times R 这里R displaystyle R 是实数集 它包含所有的点 x y displaystyle x y 这里的x displaystyle x 和y displaystyle y 是实数 参见笛卡儿坐标系 为了幫助枚舉 可绘制一个表格 一个集合作为行而另一个集合作为列 从行和列的集合选择元素 以形成有序对作为表的单元格 可以推广到在n displaystyle n 个集合X 1 X n displaystyle X 1 X n 上的n 元笛卡儿积 X 1 X n x 1 x n x 1 X 1 x n X n displaystyle X 1 times ldots times X n x 1 ldots x n x 1 in X 1 land ldots land x n in X n 实际上 它可以被等同为 X 1 X n 1 X n displaystyle left X 1 times times X n 1 right times X n 它是n 元组的集合 一个例子是欧几里得三维空间R R R displaystyle R times R times R 这里的R displaystyle R 同樣是指实数集 无穷乘积 编辑对最常用的数学应用而言 上述定义通常已經足夠 但是 也可以在任意 可能无限 的集合的搜集上定义笛卡儿积 如果I displaystyle I 是任何指标集合 而 X i i I displaystyle X i i in I 是由I displaystyle I 索引的集合的搜集 则我们定义 i I X i f I i I X i i f i X i displaystyle prod i in I X i f I to bigcup i in I X i forall i f i in X i 就是定义在索引集合上的所有函数的集合 使得这些函数在特定索引i displaystyle i 上的值是X i displaystyle X i 的元素 对在I displaystyle I 中每个j displaystyle j 定义自 p j f f j displaystyle pi j f f j 的函数 p j i I X i X j displaystyle pi j prod i in I X i to X j 叫做第j displaystyle j 投影映射 n 元组可以被看作在 1 2 n displaystyle left 1 2 n right 上的函数 它在i displaystyle i 上的值是这个元组的第i displaystyle i 个元素 所以 在I displaystyle I 是 1 2 n displaystyle left 1 2 n right 的时候 这个定义跟有限情况的定义是一致的 在无限情况下这个定义給出的是集合族 在无限情况 一個令人熟悉的特例是 當索引集合是自然数集N displaystyle mathbb N 的时候 这正是其中第i项对应于集合X i displaystyle X i 的所有无限序列的集合 再次 R displaystyle mathbb R 提供了这样的一个例子 n 1 R R w R R displaystyle prod n 1 infty mathbb R mathbb R omega mathbb R times mathbb R times ldots 是实数的无限序列的搜集 可視之为带有無限個构件的向量或元组 另一个特殊情况 上述例子也满足它 是在乘积中的各因子Xi都是相同的时候 类似于 笛卡儿指数 這樣 在最先定义中的无限并集自身就是这个集合自身 而其他条件被平凡的满足了 所以这正是从I到X的所有函数的集合 在別的情況 无限笛卡儿积就不那麼直觀了 尽管在高等数学中的應用有其价值 非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空 這一陳述等价于选择公理 函数的笛卡儿积 编辑如果f displaystyle f 是从A displaystyle A 到B displaystyle B 的函数 而g displaystyle g 是从X displaystyle X 到Y displaystyle Y 的函数 则它们的笛卡儿积f g displaystyle f times g 是从A X displaystyle A times X 到B Y displaystyle B times Y 的函数 带有 f g a x f a g x displaystyle f times g a x f a g x 跟之前類似 函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的元组和无限情況 参见 编辑有序对 幂集公理 二元关系 笛卡儿 乘积拓扑 乘积 范畴论 拉回 范畴论 外部链接 编辑Cartesian Product at ProvenMath 页面存档备份 存于互联网档案馆 Hazewinkel Michiel 编 Direct product 数学百科全书 Springer 2001 ISBN 978 1 55608 010 4 取自 https zh wikipedia org w index php title 笛卡儿积 amp oldid 75274967, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,