拓撲比較

在拓撲學和其相關的數學領域裡，拓撲比較是指在同一個給定的集合上的兩個拓撲結構之間的關係。在一給定的集合上的所有拓撲會形成一個偏序集合。此一序關係可以用來做不同拓撲之間的比較。

定義

定義 — ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$  和 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$  都是 ${\displaystyle X}$  的拓扑，若 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}\subseteq {\mathfrak {T}}_{2}}$  称 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$  比 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$ 更细（fine）或更強（strong），或称 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$  比 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$ 更粗（coarse）或更弱（weak）。

進一步的，若 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}\subset {\mathfrak {T}}_{2}}$  ，称 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$  比 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$ 嚴格细（strictly fine），或称 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$  比 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$ 嚴格粗（strictly coarse）。^[1]

直觀上，${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$  有更多甚至是「更小」的鄰域去逼近拓撲空間中的一點，所以相較之下，其拓撲結構比較「細緻」。但在 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$  意義下定義的 「極限」要求在更多的鄰域都要能找到逼近點，所以其拓撲結構在收斂的意義下比較「強」。至於嚴格細或粗，就是額外要求 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}\neq {\mathfrak {T}}_{2}}$  。

二元關係 ${\displaystyle \subseteq }$  在 ${\displaystyle X}$  所有的拓撲所組成的集合上定義了一個偏序集合。

例子

${\displaystyle X}$  的拓扑裡，最粗的是由空集和全集两个元素构成的：

${\displaystyle {\mathfrak {T}}=\{X,\,\varnothing \}}$ 

而最细的拓扑是离散拓扑（discrete topology），也就是${\displaystyle X}$  的冪集：

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{D}={\mathcal {P}}(X)}$ 

最粗拓撲

定理 — 設 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$  是 ${\displaystyle X}$  的一個子集族，則：

${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}=\bigcap {\bigg \{}{\mathfrak {T}}\,{\bigg |}\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}}){\bigg \}}}$ 

也是 ${\displaystyle X}$  的拓扑。

證明

根據定理的條件，對所有集合 ${\displaystyle A}$  有：

${\displaystyle O\in \tau _{\mathcal {F}}\Leftrightarrow (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (O\in {\mathfrak {T}})\right\}}$  (a)

以下將逐條檢驗拓扑的定義，來驗證 ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$  的確是${\displaystyle X}$  的拓扑：

(1) ${\displaystyle X,\,\varnothing \in \tau _{\mathcal {F}}}$ 

若 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$  的確是 ${\displaystyle X}$  的拓扑，那由拓扑的定義可以得到 ${\displaystyle X,\,\varnothing \in {\mathfrak {T}}}$  ，這樣從式(a)右方就可以得到 ${\displaystyle X,\,\varnothing \in \tau _{\mathcal {F}}}$  。

(2) ${\displaystyle U,\,V\in \tau _{\mathcal {F}}}$  則 ${\displaystyle U\cap V\in \tau _{\mathcal {F}}}$ 

若 ${\displaystyle U,\,V\in \tau _{\mathcal {F}}}$  ，從式(a)左方有：

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U\in {\mathfrak {T}})\right\}}$ 

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (V\in {\mathfrak {T}})\right\}}$ 

所以有：

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U,\,V\in {\mathfrak {T}})\right\}}$ 

所以根據拓扑的定義有：

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U\cap V\in {\mathfrak {T}})\right\}}$ 

這樣從式(a)右方就可以得到 ${\displaystyle U\cap V\in \tau _{\mathcal {F}}}$  。

(3) ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \tau _{\mathcal {F}}}$  則 ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {G}}\in \tau _{\mathcal {F}}}$ 

若 ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \tau _{\mathcal {F}}}$  ，那對任意 ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$  ，從式(a)左方有：

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (g\in {\mathfrak {T}})\right\}}$ 

所以有：

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow ({\mathcal {G}}\subseteq {\mathfrak {T}})\right\}}$ 

所以根據拓扑的定義有：

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (\bigcup {\mathcal {G}}\in {\mathfrak {T}})\right\}}$ 

所以從式(a)右方可以得到 ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {G}}\in \tau _{\mathcal {F}}}$  。

綜上所述，來驗證 ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$  的確是 ${\displaystyle X}$  的拓扑。${\displaystyle \Box }$ 

根據以上的定理，可以做以下的定義：

定義 — ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$  是 ${\displaystyle X}$  的一個子集族，則：

${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}=\bigcap {\bigg \{}{\mathfrak {T}}\,{\bigg |}\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}}){\bigg \}}}$ 

稱為包含 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  的最粗拓撲（或最弱拓撲）。

另見

• 初拓撲－可使集合上的一組映射皆為連續的拓撲之中，最粗糙的拓撲。
• 終拓撲－可使集合上的一組映射皆為連續的拓撲之中，最精細的拓撲。

參考資料

1. Munkres, James R. Topology 2nd. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 2000: 77–78. ISBN 0-13-181629-2.