在數學的拓撲學中,開映射是兩個拓撲空間之間的映射,使得任何開集的像都是開集;閉映射是兩個拓撲空間之間的映射,使得任何閉集的像都是閉集。所以f: X → Y是開映射(閉映射),如果X中的開集(閉集)在f下的像都為Y的開集(閉集)。
開映射和閉映射的定義中,並不要求映射連續。與之比較,映射f: X → Y為連續映射的定義,是所有Y的開集的原像為X的開集,也可等價地定義為所有Y的閉集的原像為X的閉集。雖然開映射和閉映射的定義,似較連續映射為自然,但在拓撲學中其重要性不及連續映射。
例子 - 定義連續函數f: R → R為f(x)=x2,則f是閉映射,但不是開映射。
- 任何同胚都是既開且閉及連續的。任何雙射的連續映射是同胚,若且唯若映射是開映射,或等價地,若且唯若映射是閉映射。
- X上的恆等映射是一個同胚,故為既開且閉的。但如果X是Y的子空間,則僅當X在Y中為開集(閉集)時,從X到Y的包含映射 是開映射(閉映射)。故此映射的到達域需要指明,以辨別映射是否為開或閉映射。
- 定義從[0,2π)到單位圓(視為R2中的圓,原點為圓心)的函數:在[0,2π)中的θ所對應的值,是單位圓上與x軸成角度θ的點。這個函數是雙射連續的,所以其從單位圓到[0,2π)的逆函數是既開且閉的。這個逆函數將緊緻的單位圓,映射到不是緊緻的區間[0,2π)。因此可見開映射和閉映射不保持緊緻性,這點與連續映射不同。
- 若Y有離散拓撲,則任何到Y中的映射都是既開且閉,但這映射未必連續。例如從實數集R到整數整Z的取整函數是既開且閉,但不是連續。
- 對於任何拓撲空間的積X = Π Xi,由積拓撲的定義,其投射pi: X → Xi是開且連續的。不過這投射不一定是閉的:例如令p1: R2 → R是從R2到x軸上的投射,並設A是函數f(x)=1/x的圖像,即由全部形如(x,1/x)的點構成的集合。那麼A是R2中的閉集,但p1(A)不是x軸中的閉集。不過若Y為緊緻集,則投射X × Y → X是閉映射。
性質 一個映射f: X → Y是開映射若且唯若對X中每一點x及其任何(任意小的)鄰域U,都存在f(x)的鄰域V使得V ⊂ f(U)。因此若f將X的某個拓撲基中的元素都映射到Y的開集,則f是開映射。
開映射和閉映射的定義,可用內部算子和閉包算子表達如下:設f: X → Y是映射。
- f是開映射,若且唯若對任何A ⊆ X,有f(A°) ⊆ f(A)°。
- f是閉映射,若且唯若對任何A ⊆ X,有f(A−) ⊆ f(A)−。
兩個開映射的複合是開映射;兩個閉映射的複合是閉映射,
兩個開映射的積是開映射,但兩個閉映射的積未必是閉映射。(例如取前述的投射p1: R2 → R,視之為兩個映射f和g的積,其中f是x軸上的恆等函數,g是從y軸到只包含點0的集合{0}的函數。f和g為閉映射,但p1不是。)
一個雙射是開的若且唯若其為閉的。一個連續的雙射,其逆映射是雙射的既開且閉映射,反之亦然。
一個滿射的開映射不一定是閉映射,同樣一個滿射的閉映射也不一定是開映射,
設f是連續映射,且是開的或閉的,那麼
f為開或閉映射的條件,對前兩項只是充分條件,對第三項也是必要條件。
特徵定理參考 開映射和閉映射, 在數學的拓撲學中, 開映射是兩個拓撲空間之間的映射, 使得任何開集的像都是開集, 閉映射是兩個拓撲空間之間的映射, 使得任何閉集的像都是閉集, 所以f, y是開映射, 閉映射, 如果x中的開集, 閉集, 在f下的像都為y的開集, 閉集, 的定義中, 並不要求映射連續, 與之比較, 映射f, y為連續映射的定義, 是所有y的開集的原像為x的開集, 也可等價地定義為所有y的閉集的原像為x的閉集, 雖然的定義, 似較連續映射為自然, 但在拓撲學中其重要性不及連續映射, 目录, 例子, 性質, 特徵定理,. 在數學的拓撲學中 開映射是兩個拓撲空間之間的映射 使得任何開集的像都是開集 閉映射是兩個拓撲空間之間的映射 使得任何閉集的像都是閉集 所以f X Y是開映射 閉映射 如果X中的開集 閉集 在f下的像都為Y的開集 閉集 開映射和閉映射的定義中 並不要求映射連續 與之比較 映射f X Y為連續映射的定義 是所有Y的開集的原像為X的開集 也可等價地定義為所有Y的閉集的原像為X的閉集 雖然開映射和閉映射的定義 似較連續映射為自然 但在拓撲學中其重要性不及連續映射 目录 1 例子 2 性質 3 特徵定理 4 參考例子 编辑定義連續函數f R R為f x x2 則f是閉映射 但不是開映射 任何同胚都是既開且閉及連續的 任何雙射的連續映射是同胚 若且唯若映射是開映射 或等價地 若且唯若映射是閉映射 X上的恆等映射是一個同胚 故為既開且閉的 但如果X是Y的子空間 則僅當X在Y中為開集 閉集 時 從X到Y的包含映射X Y displaystyle X hookrightarrow Y 是開映射 閉映射 故此映射的到達域需要指明 以辨別映射是否為開或閉映射 定義從 0 2p 到單位圓 視為R2中的圓 原點為圓心 的函數 在 0 2p 中的8所對應的值 是單位圓上與x軸成角度8的點 這個函數是雙射連續的 所以其從單位圓到 0 2p 的逆函數是既開且閉的 這個逆函數將緊緻的單位圓 映射到不是緊緻的區間 0 2p 因此可見開映射和閉映射不保持緊緻性 這點與連續映射不同 若Y有離散拓撲 則任何到Y中的映射都是既開且閉 但這映射未必連續 例如從實數集R到整數整Z的取整函數是既開且閉 但不是連續 對於任何拓撲空間的積X P Xi 由積拓撲的定義 其投射pi X Xi是開且連續的 不過這投射不一定是閉的 例如令p1 R2 R是從R2到x軸上的投射 並設A是函數f x 1 x的圖像 即由全部形如 x 1 x 的點構成的集合 那麼A是R2中的閉集 但p1 A 不是x軸中的閉集 不過若Y為緊緻集 則投射X Y X是閉映射 性質 编辑一個映射f X Y是開映射若且唯若對X中每一點x及其任何 任意小的 鄰域U 都存在f x 的鄰域V使得V f U 因此若f將X的某個拓撲基中的元素都映射到Y的開集 則f是開映射 開映射和閉映射的定義 可用內部算子和閉包算子表達如下 設f X Y是映射 f是開映射 若且唯若對任何A X 有f A f A f是閉映射 若且唯若對任何A X 有f A f A 兩個開映射的複合是開映射 兩個閉映射的複合是閉映射 兩個開映射的積是開映射 但兩個閉映射的積未必是閉映射 例如取前述的投射p1 R2 R 視之為兩個映射f和g的積 其中f是x軸上的恆等函數 g是從y軸到只包含點0的集合 0 的函數 f和g為閉映射 但p1不是 一個雙射是開的若且唯若其為閉的 一個連續的雙射 其逆映射是雙射的既開且閉映射 反之亦然 一個滿射的開映射不一定是閉映射 同樣一個滿射的閉映射也不一定是開映射 設f是連續映射 且是開的或閉的 那麼 若f是滿射 則f是商映射 若f是單射 則f是拓撲嵌入 若f是雙射 則f是同胚 f為開或閉映射的條件 對前兩項只是充分條件 對第三項也是必要條件 特徵定理 编辑有些條件能協助辨別映射是否開或閉 以下列出一些這一類的定理 閉映射引理指 從緊緻集X到豪斯多夫空間Y的連續映射f X Y都是閉且逆緊 緊緻集的原像都為緊緻 這結果的一個變化指 局部緊緻豪斯多夫空間之間的一個連續映射若為逆緊 則這映射是閉映射 泛函分析中的開映射定理指 巴拿赫空間之間的連續線性算子若是滿射 則為開映射 複分析中的開映射定理指 在複平面的連通開子集上定義的非常數全純函數是開映射 區域不變性定理指 兩個n維拓撲流形間的局部單射且連續的映射都是開映射 參考 编辑Munkres James R Topology 2nd Prentice Hall 2000 ISBN 0 13 181629 2 取自 https zh wikipedia org w index php title 開映射和閉映射 amp oldid 35014970, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,
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