反函數

在數學裡，反函數，也称为逆函数（英語：Inverse function），為對一個定函數做逆運算的函數。

函数ƒ和它的反函数ƒ^–1。由于ƒ把a映射到3，因此反函数ƒ^–1把3映射回到a。

定义与存在性

設${\displaystyle f}$ 為一函數，其定義域為${\displaystyle X}$ ，陪域為${\displaystyle Y}$ 。如果存在一函數${\displaystyle g}$ ，其定義域和陪域分別為${\displaystyle Y,\,X}$ ，並對任意${\displaystyle x\in X}$ 有 ${\displaystyle g(f(x))=x}$ 、對任意${\displaystyle y\in Y}$ 有${\displaystyle f(g(y))=y}$ ，則稱${\displaystyle g}$ 為${\displaystyle f}$ 的反函數，記之為${\displaystyle f^{-1}}$ 。^{[註 1]}

若一函數有反函數，便稱此函數可逆。一函數可逆的充分必要条件是该函数为双射，即同时为单射和满射。^[1]

若${\displaystyle f}$ 為一实函数，还可通過水平線測試判断其是否为单射、满射或双射。

与限制的关系

一部分函数尽管本身不可逆，但它到其定义域的某个子集上的限制是可逆的。^[2]例如

${\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty ),\,f(x)=x^{2}}$ 

${\displaystyle f}$ 并不是单射，因${\displaystyle f(1)}$ 和${\displaystyle f(-1)}$ 均为${\displaystyle 1}$ 。但若取其到${\displaystyle [0,\infty )}$ 上的限制，则这一限制为双射，并拥有反函数

${\displaystyle {f_{|_{[0,-\infty )}}}^{-1}(x)={\sqrt {x}}.}$ 

反三角函数是限制定义域的另一个例子。正弦、余弦等三角函数具有周期性，如

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x),}$ 

这意味着其并非单射。若要定义三角函数的反函数，则需要限定其定义域，如反正弦函数通常定义为正弦函数到${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ 上的限制的反函数。这一经过限制的定义域亦是反正弦函数的值域，称作其主值（英语：Principal value）。

性質

• 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
• 原函数与其反函数的函数图像关于函数${\displaystyle y=x}$ 的图像对称。
• 严格单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。
• 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数，例如${\displaystyle y=x^{-3}}$ 

注释

1. 此种写法易与一个数的${\displaystyle -1}$ 次冪混淆，尤其在三角函数中，${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$ 表示${\displaystyle \sin(x)}$ 的平方，但${\displaystyle \sin ^{-1}(x)}$ 表示反正弦在${\displaystyle x}$ 处的值，而非${\displaystyle {\frac {1}{\sin(x)}}}$ 。

参考资料

1. Smith, Geoff. Introductory Mathematics: Algebra and Analysis. London: Springer-Verlag. 1998: 30. ISBN 978-1-4471-0619-7. 
2. Clapham, Christopher; Nicholson, James. inverse function. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press. 2014. ISBN 978-0-19-175902-4. 

另見

• 值域
• 逆關係
• 反函数定理