限制 (數學)

在数学中，映射的限制 ${\displaystyle f}$ 是一个新的映射，记作 ${\displaystyle f\vert _{A}}$ 或者 ${\displaystyle f{\upharpoonright _{A}}}$ ，它是通过为原来的映射 ${\displaystyle f}$ 选择一个更小的定义域 ${\displaystyle A}$ 来得到的。反过来，也称映射 ${\displaystyle f}$ 是映射 ${\displaystyle f\vert _{A}}$ 的扩张。

功能${\displaystyle x^{2}}$与域名${\displaystyle \mathbb {R} }$没有反函数。如果我们限制${\displaystyle x^{2}}$到非负实数，那么它有一个反函数，称为平方根${\displaystyle x.}$

正式定义

设 ${\displaystyle f:E\to F}$  是一个集合 ${\displaystyle E}$  到集合 ${\displaystyle F}$  的映射。如果 ${\displaystyle A}$  是 ${\displaystyle E}$  的子集，那么称满足

$${\displaystyle \forall x\in A,\quad {f|}_{A}(x)=f(x)}$$

 

的映射^[1]

$${\displaystyle {f|}_{A}:A\to F}$$

 

是映射 ${\displaystyle f}$  在 ${\displaystyle A}$  上的限制。不正式地说， ${\displaystyle {f|}_{A}}$  是和 ${\displaystyle f}$  相同的映射，但只定义在 ${\displaystyle A}$  上。

如果将映射 ${\displaystyle f}$  看作一种在笛卡尔积 ${\displaystyle E\times F}$  上的关系 ${\displaystyle (x,f(x))}$  ，然后 ${\displaystyle f}$  在 ${\displaystyle A}$  上的限制可以用它的图像来表示：

${\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),}$ 

其中 ${\displaystyle (x,f(x))}$  表示图像 ${\displaystyle G}$  中的有序对。

扩张

映射 ${\displaystyle F}$  称为另一映射的 ${\displaystyle f}$  的扩张，当且仅当 ${\displaystyle F{\big \vert }_{\operatorname {Dom} (f)}=f}$  。也就是说同时满足下面两个条件：

1. 属于 ${\displaystyle f}$  之定义域的 ${\displaystyle x}$  必然也在 ${\displaystyle F}$  的定义域中，即 ${\displaystyle \operatorname {Dom} (f)\subseteq \operatorname {Dom} (F)}$  ；
2. ${\displaystyle f}$  和 ${\displaystyle F}$  在它们共同的定义域上的行为相同，即${\displaystyle \forall x\in \operatorname {Dom} (f),\quad f(x)=F(x)}$  。

数学上经常需要将一个具有指定性质的映射的定义域扩大，并要求扩张后的结果仍具有该性质。如寻找一个线性映射 ${\displaystyle f}$  的扩张映射 ${\displaystyle F}$  ，且 ${\displaystyle F}$  仍是线性的，这时说 ${\displaystyle F}$  是 ${\displaystyle f}$  的一个线性扩张，或者说；寻找一个连续映射 ${\displaystyle f}$  的扩张映射 ${\displaystyle F}$  ，且 ${\displaystyle F}$  仍连续，则称为进行了连续扩张；诸如此类。

例子

1. 非单射函数 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :\ x\mapsto x^{2}}$  在域${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}$  上的限制是${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}$  ，而这是一个单射。
2. 将Γ函数限制在正整数集上，并将变量平移 ${\displaystyle 1}$  ，就得到阶乘函数： ${\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!}$  。

限制的性质

• 映射 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$  在其整个定义域 ${\displaystyle X}$  上的限制即是原函数，即 ${\displaystyle f|_{X}=f}$  。
• 对一个映射在限制两次与限制一次效果相同，只要最终的定义域一样。也就是说，若 ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {Dom} (f)}$  ，则 ${\displaystyle \left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}}$  。
• 集合 ${\displaystyle X}$  上的恒等映射在集合 ${\displaystyle A}$  上的限制即是 ${\displaystyle A}$  到 ${\displaystyle X}$  的包含映射。^[2]
• 连续函数的限制是连续的。^{[3] [4]}

應用

反函數

更多信息：反函數

若某函數存在反函數，其映射必為單射。若映射 ${\displaystyle f}$  非單射，可以限制其定義域以定義其一部分的反函數。如：

　　${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ 

因為 ${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$ ，故非單射。但若將定義域限制到 ${\displaystyle x\geq {0}}$  時該映射為單射，此時有反函數

　　${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$ 

（若限制定義域至 ${\displaystyle x\leq {0}}$ ，輸出 ${\displaystyle y}$  的負平方根的函數為反函數。）另外，若允許反函數為多値函數，則無需限制原函數的定義域。

粘接引理

更多信息：粘接引理（英语：Pasting lemma）

點集拓撲學中的粘接引理聯繫了函數的連續性與限制函數的連續性。

設拓撲空間 ${\displaystyle A}$  的子集 ${\displaystyle X,\ Y}$  同時為開或閉，且滿足 ${\displaystyle A=X\cup {Y}}$ ，設 ${\displaystyle B}$  為拓撲空間。若映射 ${\displaystyle f:A\to {B}}$  到 ${\displaystyle X}$  及 ${\displaystyle Y}$  的限制都連續，則 ${\displaystyle f}$  也是連續的。

基於此結論，粘接在拓撲空間中的開或閉集合上定義的兩個連續函數，可以得到一個新的連續函數。

層

主条目：層 (數學)

層將函數的限制推廣到其他物件的限制。

層論中，拓撲空間${\displaystyle X}$ 的每個開集${\displaystyle U}$ ，有另一個範疇中的物件${\displaystyle F(U)}$ 與之對應，其中要求${\displaystyle F}$ 滿足某些性質。最重要的性質是，若一個開集包含另一個開集，則對應的兩個物件之間有限制態射，即若${\displaystyle V\subseteq U}$ ，則有態射${\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}$ ，且該些態射應仿照函數的限制，滿足下列條件：

1. 對${\displaystyle X}$ 的每個開集${\displaystyle U}$ ，限制態射${\displaystyle \mathrm {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}$ 為${\displaystyle F(U)}$ 上的恆等態射。
2. 若有三個開集${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}$ ，則複合${\displaystyle \mathrm {res} _{W,V}\circ \mathrm {res} _{V,U}=\mathrm {res} _{W,U}}$ 。
3. （局部性）若${\displaystyle (U_{i})}$ 為某個開集${\displaystyle U}$ 的開覆蓋，且${\displaystyle s,t\in F(U)}$ 滿足：對所有${\displaystyle i}$ ，${\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}}=t\upharpoonright _{U_{i}}}$ ，則${\displaystyle s=t}$ 。
4. （黏合) 若${\displaystyle (U_{i})}$ 為某個開集${\displaystyle U}$ 的開覆蓋，且對每個${\displaystyle i}$ ，給定截面${\displaystyle s_{i}\in F(U_{i})}$ ，使得對任意兩個${\displaystyle i,j}$ ，都有${\displaystyle s_{i},s_{j}}$ 在定義域重疊部分重合（即${\displaystyle s_{i}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}}$ ），則存在截面${\displaystyle s\in F(U)}$ 使得對所有${\displaystyle i}$ ，${\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}}=s_{i}}$ 。

所謂拓撲空間${\displaystyle X}$ 上的層，就是該些物件${\displaystyle F(U)}$ 和態射${\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}}$ 組成的整體${\displaystyle (F,\mathrm {res} )}$ 。若僅滿足前兩項條件，則稱為預層。

引注

1. Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories 2nd. San Francisco: W. H. Freeman and Company. 1974: [36]. ISBN 0-7167-0457-9. 
2. Halmos, Paul. Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. 1960.  Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
3. Munkres, James R. Topology 2nd. Upper Saddle River: Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2. 
4. Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David. Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. 2008. ISBN 978-0-13-184869-6.