環的譜

在抽象代數學，交換代數和代數幾何學中，一個交換環${\displaystyle A}$的譜是指其素理想全體形成的集合，記作${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$。它被賦予扎里斯基拓撲和結構層，從而成爲局部賦環空間。

一個局部賦環空間若同構於一個交換環譜，即稱爲仿射概形。

扎里斯基拓撲

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對於交換環 ${\displaystyle A}$  裡的任一理想 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ，置 ${\displaystyle V({\mathfrak {a}}):=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (A):{\mathfrak {p}}\supset {\mathfrak {a}}\}}$ 。容易證明下述性質：

• ${\displaystyle V({\mathfrak {ab}})=V({\mathfrak {a}})\cup V({\mathfrak {b}})}$ 
• ${\displaystyle V(\sum _{i}{\mathfrak {a}}_{i})=\bigcap _{i}V({\mathfrak {a}}_{i})}$ 
• ${\displaystyle V({\mathfrak {a}})\subset V({\mathfrak {b}})}$ 若且唯若${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}\supset {\sqrt {\mathfrak {b}}}}$ 

因此我們可以在${\displaystyle Spec(A)}$ 上定義一個拓撲結構，使得其閉子集恰為形如${\displaystyle V({\mathfrak {a}})}$ 的子集，稱之扎里斯基拓撲。

一般而言，扎里斯基拓撲並不滿足豪斯多夫性質。

結構層

考慮扎里斯基拓撲下的下述預層：

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{0,A}:U\mapsto \varprojlim _{{\mathfrak {p}}\in U}A_{\mathfrak {p}}}$ 

令${\displaystyle {\mathcal {O}}_{A}}$ 為其層化，稱作${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ 的結構層。顯然有${\displaystyle {\mathcal {O}}_{A,{\mathfrak {p}}}=A_{\mathfrak {p}}}$ ，故${\displaystyle (\mathrm {Spec} (A),{\mathcal {O}})}$ 構成一個局部賦環空間。

一個元素${\displaystyle a\in A}$ 給出${\displaystyle {\mathcal {O}}_{A}}$ 的截面，事實上可以證明${\displaystyle \Gamma (\mathrm {Spec} (A),{\mathcal {O}}_{A})=A}$ 。

交換環譜間的態射

設${\displaystyle A,B}$ 為交換環，${\displaystyle \phi :A\rightarrow B}$ 為一同態，則可定義一個映射${\displaystyle f({\mathfrak {p}})=\phi ^{-1}({\mathfrak {p}})}$ ，這是從${\displaystyle \mathrm {Spec} (B)}$ 到${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ 的連續映射，在結構層上則以${\displaystyle a\mapsto \phi (b)}$ 定義${\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{A}\rightarrow f_{*}{\mathcal {O}}_{B}}$ ，那麼${\displaystyle (f,f^{\sharp })}$ 給出局部賦環空間的態射。

反之，任何仿射概形間的態射皆由此唯一地給出。上述對應遂建立起交換環的反範疇與仿射概形範疇的等價性。

古典觀點

令${\displaystyle k}$ 為代數封閉域，給定${\displaystyle f_{i}\in k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ （i=1,2,...），則方程組${\displaystyle f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$ 定義一個代數簇${\displaystyle X\subset \mathbb {A} _{k}^{n}}$ 。

設${\displaystyle {\mathfrak {a}}:=(f_{1},\ldots ,f_{n})\subset k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ，${\displaystyle A:=\mathrm {k[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}} }$ 。根據希爾伯特零點定理，${\displaystyle X}$ 的點一一對應到${\displaystyle A}$ 的極大理想。

一般而言，${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ 內的元素一一對應到${\displaystyle X}$ 內的不可約閉集。考慮全體素理想的好處之一，在於可以藉此在概形上運用安德烈·韋伊的一般點（generic point）理論；此外，環同態不一定將極大理想拉回到極大理想，除非該環是 Jacobson 環。

${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ 的拓撲結構僅涉及${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}}$ 。${\displaystyle A}$ 裡的冪零元素看似無幾何意義，但它們在研究無窮小變化及態射的纖維上功效至大。

參見

• 《代數幾何基礎》