賦環空間

賦環空間 （ringed space） 在數學上係指一個拓撲空間配上一個交換環層，其中特別重要的一類是局部賦環空間。此概念在現代的代數幾何學佔重要角色。

定義

• 一個賦環空間是一組資料${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ，其中${\displaystyle X}$ 為一拓撲空間而${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ 是其上的交換環層。
• 若${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ 在每一點的莖都是局部環，則稱之局部賦環空間。

全體賦環空間構成一個範疇，${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 到${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$ 的態射是一組${\displaystyle (f,f^{\sharp })}$ ，其中${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 是連續映射，${\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{Y}\rightarrow f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$ 是環層的態射（ ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$ 定義為${\displaystyle V\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))}$ ）。

局部賦環空間亦成一範疇，其態射除上述要求外，還須滿足：對每一點${\displaystyle x\in X}$ ，${\displaystyle f^{\sharp }}$ 在莖上誘導的自然態射${\displaystyle f_{x}^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}}$ 必須是局部的（若${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}}),(B,{\mathfrak {n}})}$ 是局部環，環同態${\displaystyle \phi :A\rightarrow B}$ 滿足${\displaystyle \phi ^{-1}({\mathfrak {m}})={\mathfrak {n}}}$ ，則稱φ為局部的）。

例子

• 設${\displaystyle X}$ 為任一拓撲空間，${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}:U\mapsto C(U)}$ （${\displaystyle C(U)}$ 表 U 上的連續函數），則${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$  成一局部賦環空間：${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ 的唯一極大理想由在${\displaystyle x}$ 消沒的函數構成。拓撲空間之間的連續映射誘導出局部賦環空間的態射，反之亦然。
• 上述例子中的${\displaystyle X}$ 可代以微分流形或複流形，並將${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ 代以${\displaystyle U}$ 上的光滑函數或全純函數。
• 交換環譜${\displaystyle (\mathrm {A} ,{\mathcal {O}}_{A})}$ 。給定環同態${\displaystyle \phi :A\rightarrow B}$ ，φ誘導出局部賦環空間的態射${\displaystyle (f,f^{\sharp })}$ ；反之任一態射皆由環同態給出。

為了刻劃這些態射，局部的條件在此不可或缺，它可被視為${\displaystyle X}$ 與${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ 之間的聯繫；例如，若不要求局部性，則交換環譜的態射不一定由環同態給出——儘管從古典角度看這是必然的。